집합

어떠한 대상들의 집합으로, 집합론을 포함한 거의 모든 수학 분야에서 다른 수학적 대상을 구성하는 기층적 요소이다.

그런 거 없다.

정확히는 구성적 정의나 material set theory적 정의 등으로 나뉘는데,[1] 이들 각각의 정의가 독자적인 집합론(set theory)을 구축하기 때문에 어느 정도 겹치는 점은 있어도 집합이 무엇인지에 대한 100% 일관된 정의는 없다. 조금만 생각해봐도 수학적 공리계의 기반을 이루는 대상이나 원소 그 자체인 집합을 정의하다 보면 제1원인론 같은 패러독스에 빠질 수 있기 때문. 특히 구성적인 접근법을 취하지 않으면 러셀의 역설 따위에 빠지기 쉽다. 여담으로 범주론에서는 집합 자체를 $bf Set$ 범주의 요소 그 자체로 구성한다.

본 문서에서는 구체적으로 집합이 무엇인지에 대해 별 듣보잡 이론(alternative set theory)을 들고와서 논하기 보다는 학부생에게 친숙한 ZFC와 material set theory 기준으로 '공리적 특징'만을 관찰하기로 한다. 즉, '어떤 것이 집합이냐'가 아니라 '집합은 어떤 행동을 한다'에서 시작한다.

집합 $A$가 $x$를 가질 때, 이를 $x in A$라 표현하며, $x$를 $A$의 원소(element)라고 한다. 이 포크(?)같이 생긴 $in$ 기호를 membership predicate라고 하며, 이름에서 눈치챘겠지만 이 predicate는 부정할 수 있는데, 이를 $neg(x in A)$라 쓰고 '집합 $A$가 $x$를 원소로 가지지 않는다'고 읽는다. 이따위로 길게 쓰면 학생들의 자살율이 증가하기 때문에 수학자들은 이를 한번에 쓰기 위해 $notin$이라는 기호를 발명했다. 즉 앞의 predicate는 $x notin A$로 다시 쓸 수 있다.

ZFC등 대다수의[2] well-defined된 집합론에서 원소 여부는 상술했듯이 predicate로 동작하며, 따라서 '$A$의 원소'이거나 '$A$의 원소가 아니'거나 둘 중 하나만 성립한다.[3]

이제 종합해보자. '어떤 집합' $A$에 대해 우리는 '주어진(free) 원소의 포함 여부'를 결정하는 predicate $in$을 가진다. 이 predicate를 흔히 수리논리학에서 쓰는 것처럼 $P(x)$로 표현해 보자. 예를 들어 $x$에 $1$을 넣었을 때 $P(1)$이 참이 되고, $x$에 $6$을 넣었을 때 거짓이 될 수도 있다. 고등학교 1학년때 배웠듯이[4] 이 predicate를 문장이나 조건으로 서술해 보자.

이 조건을 참이 되도록 만드는 $x$는 모두 $A$의 원소일 것이고, 반대로 이 조건을 거짓이 되도록 만드는 $x$는 $A$의 원소가 아닐 것이다. 따라서 이 조건을 유일하게[5] 만족시키는 $A$가 바로 집합[6] $A$가 된다.

ZFC를 어떠한 선제공리 없이 membership predicate 하나만으로 구축하기 위해 졸라 장황하게 쓰긴 했지만 결국 이 위의 번거로운 과정들을 수식 한줄 딸깍으로 축약한 것이 바로 우리가 고등학교때 배우는 '조건제시법'이다.

여기까지가 소박한 집합론(naive set theory)이다. 좆같다

집합 하나 쓰는데 앞서 한 것처럼 장황하게 썼다간 뒷목 잡고 객사할 위험이 있어 보통 내용이 짧거나 간단한 경우는 중괄호 안에 원소를 하나씩 나열한다. 이걸 원소나열법이라고 한다.

물론 엄밀한 건 아니지만 대충 알아들을 수 있을 때 $dots$ 같은 야매 표기를 사용해 내용을 줄일 수 있다. 가끔 엄밀하지 않다는 이유로 교과서에서 이 방법을 구체적으로 안 알려주는 경우도 있는데, 졸라 많이 쓴다. 익숙해져라. 저렇게 쓰면 보통 위에건 유한집합, 아래건 무한집합이라는 뜻이다.

아까 설명한 조건제시법도 자주 쓴다. 보통 $mid$를 기준으로 왼쪽 오른쪽으로 나뉘는데, 왼쪽은 집합에 들어가는 부분, 오른쪽은 만족해야 하는 조건으로 외우면 된다. 예를 들어

라면 $C$에는 소수만 들어가게 된다. 또 다른 예시로

라면? $D$에는 2의 거듭제곱이 들어가게 된다. 그냥 자연수가 들어가는 게 아니다! 쉽게 이해하면 왼쪽 부분은 $f(x) = 2^x$같은 함수나 수식이고, 오른쪽은 이 $x$에 들어갈 값, 또는 정의역을 서술하는 조건을 써두는 공간이다.

또 좆같은 표기를 알아보자. 이거 제대로 설명 안해줘서 감으로 깨우쳐야만 했던 놈들 있을거다. 물론 머리가 좋으면 알아서 깨닫는 거긴 한데 뭐..

우측 조건으로 $,$(콤마)가 올 때, 보통 $land$, 즉 일종의 카티전 곱을 의미한다. 따라서 $E = {11, 22, 33, 44}$ 따위가 아니라 ${11, 12, 13, 14, 21, 22, dots, 43, 44}$가 맞다.

그럼 어떤 $x$가 자연수거나, 무슨 집합의 원소거나 하는 걸 꼭 콤마로 분리해야 할까?

아니다. 걍 줄여서 쓸 수 있는 건 다 줄인다. 왜인지는 묻지 마라..

마지막으로 $C$같은 집합을 꼭

이따위로 쓰는 교재가 있다. 그냥.. 받아들이자. 자주 보면 익숙해진다.