공집합

어떠한 원소도 가지지 않는 집합. 즉, $forall x notin A$ 를 만족시키는 집합 $A$를 말한다.

이러한 집합 $A, B$가 있을 때 부분집합이기 위해서 $forall a(a in A to a in b)$를 만족시켜야 하나, 어떤 원소도 $A$에 속하지 않는다 했으므로 vacuously true이다. 따라서 $A subset B$이며, vice versa. 따라서 상등(axiom of extensionality)에 의해 $A = B$이다. 이로써 공집합의 유일성을 증명했으므로, 특정한 기호를 줘서 매번 우려먹을 수 있다. 이 기호가 보통 $emptyset$ 또는 $varnothing$, 가끔씩은 $phi$ 따위를 쓰기도 한다 시발.

그런데 유일함을 증명해 봤자 존재하지 않으면 말짱 도루묵 아닐까? 물론 위에서 $in$을 predicate로 사용했으니 분류 공리꼴을 사용해도 되겠지만, 야매 ZFC에서는 다음과 같은 구절이 있다.

이를 axiom of empty set또는 axiom of existence라고 부른다. 즉, 공집합의 존재성을 공리로 정의한다.

상술했지만 당연하게도 선택공리 없이도 ZF 상에서는 분류 공리꼴만으로 이를 유도할 수 있어서 큰 의미는 없다.

$A ⊆ B$일 때 $A-B$는 항상 공집합이다.

공집합은 유한집합이다. 항상 $|emptyset| = 0$이다.

공집합은 모든 집합의 부분집합이다. 나중에 type theory를 배우면 이 당연한 소리가 얼마나 병신같은 성질인지 깨닫게 된다.

공집합과의 교집합은 공집합이고, 공집합과의 합집합은 원 집합이다.

공집합과의 곱집합은 공집합이다. 마찬가지로 공집합의 제곱은 공집합이다.

공집합은 모든 위상 공간에서 항상 개폐집합이다.

공집합은 항상 n항관계이다.