공집합_{(편집 요청)}

[[분류:떡밥위키 학문 프로젝트]][[분류:집합론]]
[목차]
== 개요 ==
어떠한 원소도 가지지 않는 [[집합]]. 즉, [math(\forall x \notin A)] 를 만족시키는 집합 [math(A)]를 말한다.

이러한 집합 [math(A, B)]가 있을 때 부분집합이기 위해서 [math(\forall a(a \in A \to a \in b))]를 만족시켜야 하나, 어떤 원소도 [math(A)]에 속하지 않는다 했으므로 vacuously true이다. 따라서 [math(A \subset B)]이며, vice versa. 따라서 상등(axiom of extensionality)에 의해 [math(A = B)]이다. 이로써 공집합의 유일성을 증명했으므로, 특정한 기호를 줘서 매번 우려먹을 수 있다. 이 기호가 보통 [math(\emptyset)] 또는 [math(\varnothing)], 가끔씩은 [math(\phi)] 따위를 쓰기도 한다 시발.

== 존재성 ==
그런데 유일함을 증명해 봤자 존재하지 않으면 말짱 도루묵 아닐까? 물론 위에서 [math(\in)]을 predicate로 사용했으니 분류 공리꼴을 사용해도 되겠지만, 야매 ZFC에서는 다음과 같은 구절이 있다.

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\exists A \forall x \notin A)]||

이를 axiom of empty set또는 axiom of existence라고 부른다. 즉, 공집합의 존재성을 공리로 정의한다.

상술했지만 당연하게도 [[선택공리]] 없이도 ZF 상에서는 분류 공리꼴만으로 이를 유도할 수 있어서 큰 의미는 없다.

== 특징 ==
[math(A ⊆ B)]일 때 [math(A-B)]는 항상 공집합이다.

공집합은 유한집합이다. 항상 [math(|\emptyset| = 0)]이다.

공집합은 모든 집합의 부분집합이다. 나중에 type theory를 배우면 이 당연한 소리가 얼마나 병신같은 성질인지 깨닫게 된다.

공집합과의 [[교집합]]은 공집합이고, 공집합과의 [[합집합]]은 원 집합이다.

공집합과의 [[곱집합]]은 공집합이다. 마찬가지로 공집합의 제곱은 공집합이다.

공집합은 모든 위상 공간에서 항상 개폐집합이다.

공집합은 항상 n항[[관계]]이다.

요약

문서 편집을 저장하면 당신은 기여한 내용을 CC BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고 기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다. 이 동의는 철회할 수 없습니다.

비로그인 상태로 편집합니다. 로그인하지 않은 상태로 문서 편집을 저장하면, 편집 역사에 본인이 사용하는 IP(216.73.216.62) 주소 전체가 영구히 기록됩니다.

공집합(편집 요청)

공집합_{(편집 요청)}