확률변수

random variable. 이름에 랜덤이 들어가지만 '무작위 변수' 따위가 아니다! 오해 말자.

각 시행에 대한 결과(outcome)를 실수를 공역으로써 나타낸 대응, 즉, 함수다. '시행에 대한 결과'를 표본공간(sample space)으로 대입해 생각하면 다음의 더 엄밀한 정의를 얻을 수 있다.

$X : S \to \R$

사실 이대로는 큰 의미가 없고 해당 확률변수가 나타내는 확률을 사용할 수 있어야 진짜로 쓸모가 생기기 시작하는데, 가령 $x \in \R$에 대해 '$X$의 결과가 $x$일 확률'을 말한다. 즉, 이건 $p = [0, 1]$로 나온다. 그 자체로 $\R$이 아님에 주의하자. 이런 확률은 '$X$의 결과가 $x$일 사건'이 발생할 확률로 볼 수 있으므로, '사건 $A$가 발생할 확률'을 $P(A)$처럼 쓰는 것과 비슷하게 표기할 수 있으며, 다음와 같이 쓴다.

$P(X = x)$

주어진 표본공간의 각 결과가 나올 확률은 $X$ 내에서 서로 disjoint하기 때문에 다음이 성립한다.

$\displaystyle \sum_{x \in S} P(X = x) = 1$

확률변수의 가능한 모든 결과(outcome)들을 X축에 놓고 각 결과가 나올 확률들을 구해 Y축에 두면 늘 보던 확률분포가 나온다.