극한

미적을 선택한 수많은 고등학생들에게 욕지거리를 선사해 주는 개념. 선생도 설명하기 좆같아한다. '선생님 왜 0으로 무한히 가까이 가는데 0으로 나누는 게 아닌가요?' 라고 물어보면 시발 그냥 외워라밖에 할 말이 없다. 그야 극한은 보통 첫학기때 깔짝 하고 바로 도함수 넘어가고 정적분 넘어가고 하니까..

반면 학부 이상의 해석학에서 극한은 해석학의 건축물을 떠받치는 근본적인 원리 중 하나로, 단순히 미분하고 적분하는 공식보다 '수렴값이 존재하는지', '모든 점에서 연속하는지' 등등의 성질이 오히려 더 중요해진다.

뉴턴과 라이프니츠가 갓 따끈따끈한 미적분을 발명했을 당시는 엄밀한 극한의 정의가 아직 세워지지 않아 현대인이 고딩때 하듯이 직관과 야매로 땜빵했고, 한참 지나서 코시가 엄밀한 논리를 바탕으로 미적분을 재설계한 이후에야 단순히 기울기 구하는 도구에서 벗어나 극도로 추상화된 공간과 개념을 탐구하는 해석학이라는 학문으로의 발전이 가능했다.

실수 수열 ${x_n} = {x_1, x_2, x_3, dots}$이 주였을 때, 어떤 실수 $L$에 대해

가 성립한다면 $n$이 한없이 커질 때 수열 ${x_n}$은 $L$에 수렴한다고 하며, 식으로

라고 표기한다.

좆같이 생겼지만 엡실론-델타보단 예쁜 편이다. 함수의 극한은 다가가는 구간이 유계이므로 엡실론하고 델타라는 두 변수를 사용하는데, 수열의 극한은 그럴 필요가 없다! 쉽게 말해서 수열의 극한은 $lim_{n to infty}$ 꼴만 있지 $lim_{n to 123}$ 따위 꼴은 없다. 그냥 그 항을 구하면 되니까.

참고로 $forall n in mathbb N$ bound는 다른 수가 암묵적으로 실수일 것을 가정한 상황에서, 수열의 index는 항상 자연수여야 해서 들어가는 부분으로, 대충 이해가 되었다면 머릿속에서 지우고 봐도 된다.

그나저나 그냥 간단하게 $forall epsilon > 0 exists n in mathbb N (|x_n - L| < epsilon)$처럼 쓰면 안 되나요? 싶은 학생이 있을 수도 있는데, '항상 그러한 $n$이 하나 이상 있다' 만으로는 수렴함을 보장할 수 없다. 만약 $x_{n + 1}$에서 갑자기 오차가 $epsilon$보다 커지면? $x_{n + 2}$에서 그러면? 어떤 $exists k > 0$에 대해 $x_{n + k}$에서 그러면? 이를 방지하고 끝내 반드시 수렴함을 보이기 위해 '특정 $N$ 이후로는 항상 성립함!' 이라고 쓰기 위해서 $exists N in mathbb N forall n in mathbb N (n geq N to dots)$ 부분이 추가되어야 했다는 걸 이해했다면 성공이다.