순서쌍_{(r29 문단 편집)}

== 구성적 정의 ==
그냥 '동치관계를 만족하는 어떤 것' 정도만으로도 충분히 well-defined되지만, [[집합론]]에 심취한 퍼거 학자들은 순서쌍 및 n차 튜플을 집합으로 환원시키는 여러 구성적 정의들을 떠올리기도 했다. 제안된 방법이 한두가지가 아니지만 학계에서 가장 널리 쓰이는 방법은 1921년 쿠라토프스키(Kuratowski)가 제시한 방식[* Sur la notion de l’ordre dans la Théorie des Ensembles. (n.d.). Fundamenta Mathematicae. https://doi.org/10.4064/fm-2-1-161-171]으로, 다음과 같다.

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math((x, y) \equiv \{\{x\}, \{x, y\}\})]||

우선 비가환성을 만족하는지 확인해 보자. [math((x, y) = \{\{x\}, \{x, y\}\})]이고 [math((y, x) = \{\{y\}, \{x, y\}\})]이므로 두 집합이 상등일 [[필요충분조건]]은 [math(x = y)]인 것이다. 이는 우리가 순서쌍에서 기대하는 결과와 정확히 일치한다.

또한 [math(x_1 = x_2, y_1 = y_2)]일 때 [math((x_1, y_1) = (x_2, y_2))]를 만족함을 직관적으로 확인할 수 있다.

이어서 역, 즉 [math(\{\{x_1\}, \{x_1, y_1\}\} = \{\{x_2\}, \{x_2, y_2\}\})] 일때 [math(x_1 = x_2 \land y_1 = y_2)] 또한 성립하는지 살펴보자. 상등식을 전개하면

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\displaystyle \begin{aligned}
(\{x_1\} = \{x_2\} \lor \{x_1\} = \{x_2, y_2\}) &\land (\{x_1, y_1\} = \{x_2\} \lor \{x_1, y_1\} = \{x_2, y_2\}) \\
\land (\{x_2\} = \{x_1\} \lor \{x_2\} = \{x_1, y_1\}) &\land (\{x_2, y_2\} = \{x_1\} \lor \{x_2, y_2\} = \{x_1, y_1\}) \quad \dots (1) \\
\end{aligned})]||
~~아오시발~~
대충 눈에 들어오겠지만 이따위로 장황하게 전개되는 이유는 [math(x_1, y_1)]에 대한 전제가 없기 때문으로, 뇌절을 막기 위해 세 case로 나눠서 해결하자. 우선 [math(x_1 = y_1 \land x_2 = y_2)]인 경우는 그냥 [math(\{\{x_1\}\} = \{\{x_2\}\})]이므로 자명하다. 이어서 [math(x_1 = y_1)]라고 가정하자. 참고로 이는 [math(x_2 = y_2)]인 경우의 가정과 순서가 동일하므로 생략한다.

우선 [math(\{x_1, y_1\} = \{x_1\})]이 되므로 [math(\{x_2\} = \{x_1\} \iff x_1 = x_2)]는 쉽게 보여진다. 이를 대입하면 [math(\{x_1, y_2\} = \{x_1\} \iff x_1 = y_2)]가 되는데, 가정에 의해 [math(x_1 = y_1)]이므로 이를 대입하면 [math(y_1 = y_2)]임이 보여진다.

다음으로 [math(x_1 \neq y_1)]인 경우을 살펴보자. 이 전제가 있으면 [math(\{x_1, y_1\})] 등은 원소가 하나인 [math(\{x_2\})]의 부분집합이 될 수 없으며, 따라서 선언 제거가 가능하다. 같은 방식으로 위 식을 정리하면 이번에도 [math(\{x_2\} = \{x_1\} \iff x_1 = x_2)]가 드러나고, [math(\{x_1, y_1\} = \{x_2, y_2\})]도 도출된다. 이에 따르면 [math(y_1 \in \{x_2, y_2\})] 이므로 [math(y_1 = x_2 \lor y_1 = y_2)]일 것이다.

앞서 보인 대로 [math(x_1 = x_2)]이고 가정에 의해 [math(x_1 \neq y_1)] 따러서 [math(x_2 \neq y_1)] 을 대입하면 선언 제거로 [math(y_1 = y_2)]이다.

요약

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