순서쌍_{(r29 편집)}

[[분류:집합론]]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 ordered pair}}}

[math(x \in A)]와 [math(y \in B)]에 대해 [math((x, y))] 꼴로 나타낸 수학적 객체를 말한다.

중딩때부터 함수에서 볼 수 있다.

== 비가환성 ==
[[동치 관계]]가 [math((x_1, y_1) = (x_2, y_2) \iff x_1 = x_2 \land y_1 = y_2)]와 같이 정의되는데, 쉽게 말해서 괄호의 양쪽에 들어가는 숫자가 전부 같아야만 같다고 쳐준다는 소리이다.

쉽게 말해서 [math((a, b) \neq (b, a))]이다. 이 작은 차이가 이항 관계에서 반사성(symmetricity)을 조건으로 두느냐 두지 않느냐의 차이를 발생시킨다.

== 곱집합 ==
이러한 순서쌍을 모은 [[집합]]을 곱집합이라고 하고, 곱하는 연산을 set-product라고 한다. 엄밀하게는 집합 [math(A)]와 [math(B)]에 대해

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(A \times B = \{(x, y) \mid x \in A, y \in B\})]||

로 정의된다.

교재나 맥락에 따라 set-product라고 하지 않고 카티전 곱(Cartesian product)이라고 하는 경우도 많은데, 보통 [[조합론]]이나 이산수학에서 그렇게 부른다. 조금만 생각해 봐도 [math(A \times B)]의 원소가 [math(A)]와 [math(B)]가 독립적으로 발생하는 경우를 모두 나열한 것임을 알 수 있다. 때문에 [[유한집합]]에서는 [math(|A \times B| = |A| \times |B|)]라는 등식이 성립한다.

한편, [[공집합]]과 곱하면 항상 [[공집합]]이 된다. 공집합에서는 [math(\forall x \in)]가 항상 부정되기 때문.

곱하는 집합이 같은 경우, [[거듭제곱]]으로 표현할 수도 있다.

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\begin{aligned}
A^1 &= A \\
A^k &= A^{k - 1} \times A
\end{aligned})]||

이를 Cartesian power라 부른다.

=== 집합 연산에서 ===
분배법칙이 깔끔하게 성립하는데, 조금만 고민해보면 알겠지만 이는 [math(\land)]가 분배법칙을 성립시키기 때문이다.

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\begin{aligned}
A \times (B \cap C) &= (A \times B) \cap (A \times C) \\
A \times (B \cup C) &= (A \times B) \cup (A \times C) \\
\end{aligned})]||

== 일반화 ==
{{{+1 tuple}}}

위 곱의 정의를 사용해 일반화해서 포장하면 [math((x_1, x_2, x_3, \dots, x_n))] 형태의 [math(n)]-tuple이란 [math(\prod A_n)]의 원소로 정의할 수 있다. 이런 고차항 튜플은 [math(\mathbb R^n)] 유클리드 공간이나 [math(n)]차 관계가 등장할 때마다 지겹게 나오니 그런가보다 하자.

나중에 n차 튜플 대수(NTA)를 배우면 더 기상천외한 성질을 볼 수 있다.

== 구성적 정의 ==
그냥 '동치관계를 만족하는 어떤 것' 정도만으로도 충분히 well-defined되지만, [[집합론]]에 심취한 퍼거 학자들은 순서쌍 및 n차 튜플을 집합으로 환원시키는 여러 구성적 정의들을 떠올리기도 했다. 제안된 방법이 한두가지가 아니지만 학계에서 가장 널리 쓰이는 방법은 1921년 쿠라토프스키(Kuratowski)가 제시한 방식[* Sur la notion de l’ordre dans la Théorie des Ensembles. (n.d.). Fundamenta Mathematicae. https://doi.org/10.4064/fm-2-1-161-171]으로, 다음과 같다.

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math((x, y) \equiv \{\{x\}, \{x, y\}\})]||

우선 비가환성을 만족하는지 확인해 보자. [math((x, y) = \{\{x\}, \{x, y\}\})]이고 [math((y, x) = \{\{y\}, \{x, y\}\})]이므로 두 집합이 상등일 [[필요충분조건]]은 [math(x = y)]인 것이다. 이는 우리가 순서쌍에서 기대하는 결과와 정확히 일치한다.

또한 [math(x_1 = x_2, y_1 = y_2)]일 때 [math((x_1, y_1) = (x_2, y_2))]를 만족함을 직관적으로 확인할 수 있다.

이어서 역, 즉 [math(\{\{x_1\}, \{x_1, y_1\}\} = \{\{x_2\}, \{x_2, y_2\}\})] 일때 [math(x_1 = x_2 \land y_1 = y_2)] 또한 성립하는지 살펴보자. 상등식을 전개하면

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\displaystyle \begin{aligned}
(\{x_1\} = \{x_2\} \lor \{x_1\} = \{x_2, y_2\}) &\land (\{x_1, y_1\} = \{x_2\} \lor \{x_1, y_1\} = \{x_2, y_2\}) \\
\land (\{x_2\} = \{x_1\} \lor \{x_2\} = \{x_1, y_1\}) &\land (\{x_2, y_2\} = \{x_1\} \lor \{x_2, y_2\} = \{x_1, y_1\}) \quad \dots (1) \\
\end{aligned})]||
~~아오시발~~
대충 눈에 들어오겠지만 이따위로 장황하게 전개되는 이유는 [math(x_1, y_1)]에 대한 전제가 없기 때문으로, 뇌절을 막기 위해 세 case로 나눠서 해결하자. 우선 [math(x_1 = y_1 \land x_2 = y_2)]인 경우는 그냥 [math(\{\{x_1\}\} = \{\{x_2\}\})]이므로 자명하다. 이어서 [math(x_1 = y_1)]라고 가정하자. 참고로 이는 [math(x_2 = y_2)]인 경우의 가정과 순서가 동일하므로 생략한다.

우선 [math(\{x_1, y_1\} = \{x_1\})]이 되므로 [math(\{x_2\} = \{x_1\} \iff x_1 = x_2)]는 쉽게 보여진다. 이를 대입하면 [math(\{x_1, y_2\} = \{x_1\} \iff x_1 = y_2)]가 되는데, 가정에 의해 [math(x_1 = y_1)]이므로 이를 대입하면 [math(y_1 = y_2)]임이 보여진다.

다음으로 [math(x_1 \neq y_1)]인 경우을 살펴보자. 이 전제가 있으면 [math(\{x_1, y_1\})] 등은 원소가 하나인 [math(\{x_2\})]의 부분집합이 될 수 없으며, 따라서 선언 제거가 가능하다. 같은 방식으로 위 식을 정리하면 이번에도 [math(\{x_2\} = \{x_1\} \iff x_1 = x_2)]가 드러나고, [math(\{x_1, y_1\} = \{x_2, y_2\})]도 도출된다. 이에 따르면 [math(y_1 \in \{x_2, y_2\})] 이므로 [math(y_1 = x_2 \lor y_1 = y_2)]일 것이다.

앞서 보인 대로 [math(x_1 = x_2)]이고 가정에 의해 [math(x_1 \neq y_1)] 따러서 [math(x_2 \neq y_1)] 을 대입하면 선언 제거로 [math(y_1 = y_2)]이다.

요약

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