집합_(r12)

어떠한 대상들의 집합으로, 집합론을 포함한 거의 모든 수학 분야에서 다른 수학적 대상을 구성하는 기층적 요소이다.

그런 거 없다.

정확히는 구성적 정의나 material set theory적 정의 등으로 나뉘는데,[1] 이들 각각의 정의가 독립적인 집합론(set theory)을 구축한다. 조금만 생각해봐도 수학적 공리계의 기반을 이루는 대상이나 원소 그 자체인 집합을 정의하다 보면 제1원인론 같은 패러독스에 빠질 수 있기 때문. 특히 구성적인 접근법을 취하지 않으면 러셀의 역설 따위에 빠지기 쉽다. 여담으로 범주론에서는 집합 자체를 $bf Set$ 범주의 요소 그 자체로 구성한다.

본 문서에서는 구체적으로 집합이 무엇인지에 대해 별 듣보잡 이론(alternative set theory)을 들고와서 논하기 보다는 학부생 기준으로 (ZFC 기준) '공리적 특징'만을 관찰하기로 한다. 즉, '어떤 것이 집합이냐'가 아니라 '집합은 어떤 행동을 한다'에서 시작한다.

집합 $A$가 $x$를 가질 때, 이를 $x in A$라 표현하며, $x$를 $A$의 원소(element)라고 한다. 이 포크(?)같이 생긴 $in$ 기호를 membership predicate라고 하며, 이름에서 눈치챘겠지만 이 predicate는 부정할 수 있는데, 이를 $neg(x in A)$라 쓰고 '집합 $A$가 $x$를 원소로 가지지 않는다'고 읽는다. 이따위로 길게 쓰면 학생들의 자살율이 증가하기 때문에 수학자들은 이를 한번에 쓰기 위해 $notin$이라는 기호를 발명했다. 즉 앞의 predicate는 $x notin A$로 다시 쓸 수 있다.

well-defined된 집합론에서 원소 여부는 상술했듯이 predicate로 동작하며, 따라서 '$A$의 원소'이거나 '$A$의 원소가 아니'거나 둘 중 하나만 성립한다.[2]

이제 종합해보자. '어떤 집합' $A$에 대해 우리는 '주어진(free) 원소의 포함 여부'를 결정하는 predicate $in$을 가진다. 이 predicate를 흔히 수리논리학에서 쓰는 것처럼 $P(x)$로 표현해 보자. 예를 들어 $x$에 $1$을 넣었을 때 $P(1)$이 참이 되고, $x$에 $6$을 넣었을 때 거짓이 될 수도 있다. 고등학교 1학년때 배웠듯이[3] 이 predicate를 문장이나 조건으로 서술해 보자.

이 조건을 참이 되도록 만드는 $x$는 모두 $A$의 원소일 것이고, 반대로 이 조건을 거짓이 되도록 만드는 $x$는 $A$의 원소가 아닐 것이다. 따라서 이 조건을 유일하게[4] 만족시키는 $A$가 바로 집합 $A$가 된다.