복소수

보통 고딩수학에서는 $i$를 먼저 정의하고 이를 통해 복소수로 나아가는데, 학부 수준에서는 사실 반대 순서로 한다.

$\mathbb C$를 다음 두 연산이 정의된 체라고 하자.

이때 $\forall z \in \mathbb C$에 대해 $\Re(z)$와 $\Im(z)$는 각각 $\mathbb C \to \R$의 함수이다. 엄밀히 말하면 $\Re_{\mathbb C}$, $\Im_{\mathbb C}$이 되어야 하겠지만 이따 곧바로 유일성 증명 할거라서 그냥 넘어가주자.

사실 유일성 증명을 위해서는 동치 관계도 정의해야 하는데, 일단 $\forall z_1,z_2 \in \mathbb C ( z_1 = z_2 \harr \Re(z_1) = \Re(z_2) \land \Im(z_1) = \Im(z_2) )$ 라고 하자.

그리고 마지막으로, 이런 체를 실제로 존재하게 만들기 위해 원소를 꽉 채워주자. 앞서 동치 관계를 정의했기 때문에 $\exists!$라고 써도 된다. 증명은 알아서.

위 정의를 보고 가슴이 두근거리거나 준동형 사상이 떠올랐거나 갑자기 머리가 번쩍거리면서 이해가 끝났다면 축하한다. 당신은 수학과 랩실에 처박혀 인생을 갈아먹힐 운명이다. 지금당장 복소해석 수강신청하고 노예가 되도록 하자.

그럼 좀더 살펴보자. 일단

는 위 정의에서 쉽게 드러난다. 위 두 사실을 합치면 임의의 $\forall z \in \mathbb C$를 아래와 같이 나타낼 수 있을 것이다.

복잡하다. $\Im(z) = 0$인 것들은 그냥 실수다 라고 생각하고 조금 간단하게 써보자.

아까부터 나온 $v$는 $\Re(v) = 0$, $\Im(v) = 1$인 원소다. 앞선 동치 관계 정의에 의해 유일성은 보장되니까 그냥 상수라고 치고 따로 빼내서 $i$라는 이름을 지어 주자.

정리하면 체 $\mathbb C$의 모든 원소는 어떤 두 실수 $x, y$에 대해 항상 $x + iy$ 꼴로 나타낼 수 있다. 그럼 이 $i$는 정확히 뭘까?

앞서 체 $\mathbb C$에 곱셈 연산을 정의했다. 한번 $i$에 적용해볼까?

아까 $\Im$가 0으로 나오면 실수라고 했다. 즉, $i^2 = -1$이다. 그렇다. 우리가 찾던 그 허수(imaginary number)가 맞다.

체 $\mathbb C$의 이름은 복소수(complex number)고, $\Re(z)$과 $\Im(z)$는 각각 복소수 $z$의 실수부, 허수부라고 부른다.

앞서 정말 간단한 $\mathbb C$ 위의 동치 관계를 정의했었다. 모든 $\forall x,y \in \R$에 대해서 고유한 $z \in \mathbb C$를 대응시켰고, $\Re$과 $\Im$ 또한 $\R$을 공역으로 갖는 함수니까 $z$에서 고유한 $x,y$를 대응시키는 것은 더 쉽다. $R^2$에서 $\mathbb C$로 가는 일대일대응 함수 $f:R^2 \to \mathbb C$를 생각할 수 있다는 것인데, 그게 바로 아까 봤던 $z = f(x, y) = x + iy$다. 이게 복소수를 $a + bi$ 식으로 표기하는 이유다.

$x^2 = -1$의 이차방정식을 생각하자.

이 방정식의 근 중 하나를 대충 $i$라고 하자.

이때 복소수란 어떤 실수 $a$와 $b$에 대해 $a + bi$ 형태로 이루어진 수를 말한다.

대수학에서 등장한 만큼 방정식 풀이에 맨날 나온다. 현대대수를 들어가면 그냥 길가의 돌멩이 수준으로 볼 수 있는데, 예를 들어 소수를 복소수로 소인수분해하는 미친 짓거리를 한다.

전순서 관계가 정의되지 않는데 어떻게 미분을 할 수 있지? 라는 생각이 들 수 있는데 이럴땐 위상수학적으로 생각하면 된다. 복소평면에서의 극한을 정의하면 코시-리만 방정식이라는 좆같은 게 튀어나온다.