관계

어떤 집합 내 요소들 사이에 성립하는 성질이나 특성을 예 또는 아니오로 나타내는 방법. 성질이라곤 했으나 수학적으로 귀납적으로 어떤 방식으로든 나열할 수 있으면 그건 관계이다.

집합 $A$ 위의 $n$항 관계 $R$은 $A^n$의 부분집합으로 정의된다.

집합론에선 주로 이항 관계를 다룬다. 이 경우 보통 중위 표기법으로 쓰는데, 두 $x, y in A$가 서로 $R$이라는 관계를 가진다면 $xRy$라고 적는 식.

함수와는 다르다. 함수는 정의역의 원소별로 단 하나의 사상만 만들어지는 반면, 관계는 그런 거 없다. 예를 들어 흔히 음함수로 불리는 원의 방정식은 관계로 $xCy iff x^2 + y^2 = 1$과 같이 표현할 수 있다.

이항 관계에 한해 역관계를 정의할 수 있는데, $R^{-1} = {(y, x) mid (x, y) in R}$로 사용한다. 예를 들어 $xLy$가 '$x$가 $y$보다 작거나 같다'라는 관계로 정의된다면, $xL^{-1}y$는 '$x$가 $y$보다 크거나 같다'가 된다.

이중 매우 general한 것은 성질이라고도 불리며, 주로 조합되어 다른 관계를 기술할 때 쓰인다. 예를 들면 추이 관계(transitive relation)는 성질로 표현될 때 추이성(transitivity)이라고 불리게 된다. 수학적으론 같은 개념이다.