연산_{(r3 편집)}

[[분류:산술]][[분류:대수학]]
[include(틀:다른 뜻, 설명1=동음이의어, 문서명1=연산(동음이의어))]
[include(틀:대수학)]
[include(틀:수와 연산)]
[목차]
== 개요 ==
연산([[演]][[算]], operation)은 [[수학]]에서 하나 이상의 피연산자를 연산자의 정의에 따라 계산하여 하나의 결과값을 도출해 내는 과정을 말한다. 피연산자가 1개일 경우 단항연산, 2개일 경우 이항연산, n개일 경우 n항연산이라고 한다. 단항연산은 [[함수]]에 대응되는 개념이며 n항연산은 n개의 정의역으로 1개의 치역을 도출하는 [[사상]]에 대응되는 개념이라고 할 수 있다. [math(A_1\times A_2\times{\cdots}\times A_n\rightarrow B)]

예를 들면 [math(1+2=3)]에서 [math(1)]과 [math(2)]가 피연산자, [math(+)]가 연산자, [math(3)]이 결과값이라고 할 수 있다.

가장 유명한 연산으로 [[사칙연산]]을 꼽을 수 있다.

== 단항연산 ==
피연산자가 하나인 연산. 부호 반전이나 역수, 절대값 기호 [math(\left| \cdot \right|)][* 절대값 기호 속에 들어가는 수, 행렬, 벡터 등등을 정의에 따라 실수로 변환해 주는 연산. 이것을 일반화한 개념이 [[노름(수학)|노름]]이다.]나 [[최대 정수 함수]] [math(\lfloor \cdot \rfloor)][* 안에 들어간 실수의 소수점 이하 부분을 제거하여 [[정수]]로 만드는 연산.], 최소 정수 함수 [math(\lceil \cdot \rceil)], 그리고 [[여집합]] 연산 [math(\complement A)][* 중등교육과정에서는 [math(A^c)]가 친숙할 것이다.] 등이 있다. [[복소수]]에서는 [[켤레복소수]]([math(\overline z)])와 실수부와 허수부를 추출하는 [math(\Re(z), \Im(z))][* 고등학교/대학교 학부 수준에는 [math(\mathrm{Re}(z), \mathrm{Im}(z))] 형태로 배우는데 [math(\Re(z), \Im(z))]가 비교적 낯선 형태이기 때문이다. ~~왠지 [[외계어|외계문자]] 같은 느낌도 있다.~~ 참고로 [math(\Im)]는 허수부('''I'''maginary part)의 앞글자를 딴 I이다.]가 있다.
[[지수(수학)|지수]]는 형태상으로 단항연산으로 착각하기 쉽지만 이항연산이다. 밑과 지수 두 피연산자를 받는다.

== 이항연산 ==
[[사칙연산]]을 비롯하여 거듭제곱(및 거듭제곱근), [[테트레이션]](tetration)[* [math(x^x)]를 [math(x\uparrow\uparrow2)], [math(x^{x\uparrow\uparrow2})]를 [math(x\uparrow\uparrow3)]과 같은 식으로 정의하는 연산. 지수로는 나타낼 수 없는 매우 큰 수를 나타날 때 쓰인다.] 등이 있다.

정말 특이한 연산[* [[행렬]]이나 [[델(연산자)|델]] 연산, [[적분]] 등]을 빼고는 삼항연산부터는 정의할 의미가 없는 게, [math(A+B+C)] 같은 연산은 일단 [math(A+B)]를 구한 뒤 거기다가 [math(+C)]를 하면 되기 때문에 결국엔 이항연산으로 환원된다.

== [[항등원과 역원]] ==
[include(틀:상세 내용, 문서명=항등원과 역원)]
연산 [math(◎)]에 대해 [math(a\mathbin◎e=e\mathbin◎a=a)]가 성립할 때, [math(e)]를 [math(◎)]의 항등원이라고 한다. 덧셈의 항등원은 [math(0)], 곱셈의 항등원은 [math(1)]이다. 사칙연산이 아닌 연산자에 대해서도 항등원이라는 개념을 적용할 수 있는데, [[합성곱|컨볼루션]]([math(\ast)])의 항등원은 [[디랙 델타 함수]] [math(\delta (t))]가 될 수 있겠다.

연산 [math(◎)]과 [math(◎)]의 항등원 [math(e)]에 대해 [math(a\mathbin◎x=x\mathbin◎a=e)]가 성립할 때, [math(x)]를 [math(◎)]에 대한 [math(a)]의 역원이라고 한다. 덧셈에 대한 [math(a)]의 역원은 [math(-a)], 곱셈에 대한 [math(a)]([math(a\ne0)])의 역원은 [math(a^{-1})]이다.

또한, 항등원과 역원의 개수는 달라질수 있는데 대표적으로 미분연산자가 있으며, 피연산자에 따라 달라질수도 있다.

== 교환법칙과 결합법칙 ==
연산 [math(◎)]에 대해 [math(a\mathbin◎b=b\mathbin◎a)]가 성립할 때, [math(◎)]는 [[교환법칙]]을 만족시킨다고 한다. 또한 연산 [math(◎)]에 대해 [math((a\mathbin◎b)\mathbin◎c=a\mathbin◎(b\mathbin◎c))]가 성립할 때, [math(◎)]는 [[결합법칙]]을 만족시킨다고 한다. 덧셈과 곱셈은 복소수 범위에서 교환법칙과 결합법칙이 성립하나, 뺄셈과 나눗셈은 그렇지 않다.

== 닫혀 있다 ==
연산 [math(◎)]이 정의된 집합 [math(A)]의 부분집합 [math(B)]의 임의의 원소 [math(a)]와 [math(b)]에 대해, [math(a\mathbin◎b)] 역시 [math(B)]에 속할 때, [math(◎)]는 [math(B)]에 대해 닫혀 있다고 표현한다.

[include(틀:문서 가져옴/나무위키, title=연산, version=88, uuid=8365a2f1-e32f-42ef-b533-65150af53323)]

요약

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