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푸리에 해석(r8)

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1. 개요2. 푸리에 급수3. 푸리에 변환4. 의의

1. 개요[편집]


임의의 함수를 삼각함수 혹은 지수함수의 일차결합으로 나타내는 해석 체계. 프랑스의 수학자 푸리에가 자신의 이름을 붙여서 내놓았다. 지수함수와 삼각함수는 본질적으로 같기 때문에 사실상 신호나 함수를 지수함수의 합 혹은 적분으로 표현하는 방법론을 의미한다. 자세한 설명은 위의 영상이 잘해주니 참고할 것. 해석학의 한 갈래로 여겨진다.

2. 푸리에 급수[편집]

f(x)=∑n=−∞∞cnejnωxf(x)=displaystylesum_{n=-infty}^{infty} c_{n} e^{jn omega x}
cn=1T∫x0x0+Tf(x)e−jnωx dx displaystyle begin{aligned} c_{n}=frac{1}{T}int_{x_{0}}^{x_{0}+T}f(x)e^{-jn omega x} ,{rm d}x end{aligned}
주기 함수에서의 푸리에 해석. 주기 함수는 엥간해선 기본 각속도 ww의 정수배 주파수를 갖는 정현파들의 합으로 분해가 가능하기 때문에 급수의 형태로 일차결합을 표현할 수 있다. jj는 순허수 ii와 같은 수를 가리킨다. 전자공학에서 자주 사용하는 전류기호 ii와 혼동하지 않기 위해서 jj로 표현한다.

3. 푸리에 변환[편집]

푸리에 변환: F{f(t)}=F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωt dtmathcal{F}{f(t)} = F(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-i omega t} , dt
푸리에 역변환:f(t)=12π∫−∞∞F(ω)eiωt dωf(t) = frac{1}{2pi} int_{-infty}^{infty} F(omega) e^{i omega t} , domega
비주기 함수에서의 푸리에 해석. 비주기 신호는 기본 각속도가 존재하지 않아 푸리에 급수처럼 각속도의 정수배로 성분으로 분해할 수 없다. 때문에 차라리 연속적인 스펙트럼으로 표현하는 방법이 이용되는데 이것이 바로 푸리에 변환이다.

4. 의의[편집]

굳이 왜 이런 귀찮은 짓을 하면서 함수를 개조하는가 싶지만 쓰이는 곳이 많다. 특히나 신호를 시간 단위가 아니라 주파수 단위로 분해하는 방법론은 신호 분석의 기초 중 기초라고 할 수 있다. 더불어 주파수 단위에서 원하는 성분을 증폭시키고 억제하는 동작을 쉽게 구현할 수 있는데 설계하고 이를 푸리에 역변환을 통해 시간 단위에서 구현하면 소위 필터로써 기능하게 된다.
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