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집합론 시간에 배우는 형식적인(formal)
자연수 의 정의 및 공리계(axiomatic system).
현대대수 시간에도 배울 수 있긴 한데 딥하게 가르치는 쪽은 아무래도 집합론이다. 그야 대수에서는 자연수에서 다른 구조로 가는 준동형 사상을 찾기 위한 징검다리로 쓸 뿐, 자연수 자체는 군도 아니고 수학적으로 별 유의미한 구조가 아니기 때문. 정확히는 페아노 공리계 위의 자연수는 monoid를 형성한다.
총 다섯 가지 공리들(axioms)로 구성된다. 편의상 '
x x x 가 자연수이다'라는 predicate를
N ( x ) N(x) N ( x ) 라 표현했다.
∃ e ( N ( e ) ) exists e(N(e)) ∃ e ( N ( e )) (자연수
e e e 가 존재한다.)
∃ S ∀ n ( N ( n ) → N ( S ( n ) ) ) exists S forall n(N(n) to N(S(n))) ∃ S ∀ n ( N ( n ) → N ( S ( n ))) (모든 자연수
n n n 에 대해, 따름수(successor)
S ( n ) S(n) S ( n ) 역시 자연수이게 하는
S S S 가 존재한다.)
∀ n ( N ( n ) → ¬ ( S ( n ) = e ) ) forall n(N(n) to neg (S(n) = e)) ∀ n ( N ( n ) → ¬ ( S ( n ) = e )) (
e e e 는 그 어떤 자연수의 따름수도 아니다.)
∀ n ∀ m ( N ( n ) ∧ N ( M ) → ( S ( n ) = S ( m ) ⟺ n = m ) ) forall n forall m (N(n) land N(M) to (S(n) = S(m) iff n = m)) ∀ n ∀ m ( N ( n ) ∧ N ( M ) → ( S ( n ) = S ( m ) ⟺ n = m )) (
S S S 가 injective하다.)
∀ ϕ ( ( ϕ ( e ) ∧ ∀ n ( N ( n ) → ( ϕ ( n ) → ϕ ( S ( n ) ) ) ) ) ⟺ ∀ n ( N ( n ) → ϕ ( n ) ) ) forall phi((phi(e) land forall n(N(n) to (phi(n) to phi(S(n))))) iff forall n (N(n) to phi(n))) ∀ ϕ (( ϕ ( e ) ∧ ∀ n ( N ( n ) → ( ϕ ( n ) → ϕ ( S ( n ))))) ⟺ ∀ n ( N ( n ) → ϕ ( n )))