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페아노 공리계(r12)

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분류
1. 개요2. 정의

1. 개요[편집]

학부 집합론 시간에 배우는 형식적인(formal) 자연수의 정의 및 공리계(axiomatic system).

현대대수 시간에도 배울 수 있긴 한데 딥하게 가르치는 쪽은 아무래도 집합론이다. 그야 대수에서는 자연수에서 다른 구조로 가는 준동형 사상을 찾기 위한 징검다리로 쓸 뿐, 자연수 자체는 군도 아니고 수학적으로 별 유의미한 구조가 아니기 때문. 정확히는 페아노 공리계 위의 자연수는 monoid를 형성한다.

2. 정의[편집]

총 다섯 가지 공리들(axioms)로 구성된다. 편의상 'xx가 자연수이다'라는 predicate를 N(x)N(x)라 표현했다.
  1. ∃e(N(e))exists e(N(e)) (자연수 ee가 존재한다.)
  2. ∃S∀n(N(n)→N(S(n)))exists S forall n(N(n) to N(S(n))) (모든 자연수 nn에 대해, 따름수(successor) S(n)S(n) 역시 자연수이게 하는 SS가 존재한다.)
  3. ∀n(N(n)→¬(S(n)=e))forall n(N(n) to neg (S(n) = e)) (ee는 그 어떤 자연수의 따름수도 아니다.)
  4. ∀n∀m(N(n)∧N(M)→(S(n)=S(m)  ⟺  n=m))forall n forall m (N(n) land N(M) to (S(n) = S(m) iff n = m)) (SS가 injective하다.)
  5. ∀ϕ((ϕ(e)∧∀n(N(n)→(ϕ(n)→ϕ(S(n)))))  ⟺  ∀n(N(n)→ϕ(n)))forall phi((phi(e) land forall n(N(n) to (phi(n) to phi(S(n))))) iff forall n (N(n) to phi(n)))

axiom of induction이라고도 불리는 5번 공리가 좀 족같은데, 보면 알겠지만 ϕ(x)phi(x)는 predicate고 ∀ϕforall phi로 이에 대한 보편 양화를 규정하고 있으므로 이차논리이다. 다시 말해 FOL로 쓸 수 없다는 소리인데 물론 머리 잘 굴러가는 수학자들이 FOL 공리꼴로 표현할 수 있게 이미 수십년도 전에 조리 완료해 두었다.

다만 페아노가 1889년 처음 페아노 공리계를 발표했던 당시 사용된 방식이라 짚고 넘어가는 게 중요하다. 특히 수학적 귀납법이 성립하게 만드는 이유를 2차 논리로 써 두었을 뿐인 만큼 인간 기준에선 나름 직관적(?)인 정의이기도 하다. ϕ(x)phi(x)를 임의의 자연수 양화 명제로 바꿔서 생각해 보자.이해가 쏙쏙되잖아 리슝좍아

참고로 집합을 사용하는 구성적 정의에서는 그냥 부분집합으로 약화시켜서 생각해도 되는데, 이 경우 N(n)→ϕ(n)N(n) to phi(n)이 필요없고 그냥 상등에 의해 N=ϕN = phi라고 쓸 수도 있다. 물론 부분집합이라는 가정이 없는 경우 N⊂ϕN subset phi가 될 것이다.
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