페아노 공리계_{(r8로 되돌리기)}

[[분류:집합론]]
[목차]
== 개요 ==
학부 [[집합론]] 시간에 배우는 형식적인(formal) [[자연수]]의 정의 및 공리계(axiomatic system).

현대대수 시간에도 배울 수 있긴 한데 딥하게 가르치는 쪽은 아무래도 집합론이다. 그야 대수에서는 자연수에서 다른 구조로 가는 준동형 사상을 찾기 위한 징검다리로 쓸 뿐, 자연수 자체는 군도 아니고 수학적으로 별 유의미한 구조가 아니기 때문. 정확히는 페아노 공리계 위의 자연수는 monoid를 형성한다.

== 정의 ==
총 다섯 가지 공리들(axioms)로 구성된다. 편의상 '[math(x)]가 자연수이다'라는 predicate를 [math(N(x))]라 표현했다.

 1. [math(\exists e(N(e)))] (자연수 [math(e)]가 존재한다.)
 1. [math(\exists S \forall n(N(n) \to N(S(n))))] (모든 자연수 [math(n)]에 대해, 따름수(successor) [math(S(n))] 역시 자연수이게 하는 [math(S)]가 존재한다.)
 1. [math(\forall n(N(n) \to \neg (S(n) = e)))] ([math(e)]는 그 어떤 자연수의 따름수도 아니다.)
 1. [math(\forall n \forall m (N(n) \land N(M) \to (S(n) = S(m) \iff n = m)))] ([math(S)]가 injective하다.)

요약

페아노 공리계(r8로 되돌리기)

페아노 공리계_{(r8로 되돌리기)}