페아노 공리계_{(r12 RAW)}

[[분류:집합론]]
[목차]
== 개요 ==
학부 [[집합론]] 시간에 배우는 형식적인(formal) [[자연수]]의 정의 및 공리계(axiomatic system).

현대대수 시간에도 배울 수 있긴 한데 딥하게 가르치는 쪽은 아무래도 집합론이다. 그야 대수에서는 자연수에서 다른 구조로 가는 준동형 사상을 찾기 위한 징검다리로 쓸 뿐, 자연수 자체는 군도 아니고 수학적으로 별 유의미한 구조가 아니기 때문. 정확히는 페아노 공리계 위의 자연수는 monoid를 형성한다.

== 정의 ==
총 다섯 가지 공리들(axioms)로 구성된다. 편의상 '[math(x)]가 자연수이다'라는 predicate를 [math(\N(x))]라 표현했다.

 1. [math(\exists e(\N(e)))] (자연수 [math(e)]가 존재한다.)
 1. [math(\exists S \forall n(\N(n) \to \N(S(n))))] (모든 자연수 [math(n)]에 대해, 따름수(successor) [math(S(n))] 역시 자연수이게 하는 [math(S)]가 존재한다.)
 1. [math(\forall n(\N(n) \to \neg (S(n) = e)))] ([math(e)]는 그 어떤 자연수의 따름수도 아니다.)
 1. [math(\forall n \forall m (\N(n) \land \N(M) \to (S(n) = S(m) \iff n = m)))] ([math(S)]가 injective하다.)
 1. [math(\forall \phi((\phi(e) \land \forall n(\N(n) \to (\phi(n) \to \phi(S(n))))) \iff \forall n (\N(n) \to \phi(n))))]

axiom of induction이라고도 불리는 5번 공리가 좀 족같은데, 보면 알겠지만 [math(\phi(x))]는 predicate고 [math(\forall \phi)]로 이에 대한 보편 양화를 규정하고 있으므로 이차논리이다. 다시 말해 FOL로 쓸 수 없다는 소리인데 물론 머리 잘 굴러가는 수학자들이 FOL 공리꼴로 표현할 수 있게 이미 수십년도 전에 조리 완료해 두었다.

다만 페아노가 1889년 처음 페아노 공리계를 발표했던 당시 사용된 방식이라 짚고 넘어가는 게 중요하다. 특히 [[수학적 귀납법]]이 성립하게 만드는 이유를 2차 논리로 써 두었을 뿐인 만큼 인간 기준에선 나름 직관적(?)인 정의이기도 하다. [math(\phi(x))]를 임의의 자연수 양화 명제로 바꿔서 생각해 보자.~~이해가 쏙쏙되잖아 리슝좍아~~

참고로 집합을 사용하는 구성적 정의에서는 그냥 [[부분집합]]으로 약화시켜서 생각해도 되는데, 이 경우 [math(\N(n) \to \phi(n))]이 필요없고 그냥 상등에 의해 [math(\N = \phi)]라고 쓸 수도 있다. 물론 부분집합이라는 가정이 없는 경우 [math(\N \subset \phi)]가 될 것이다.

페아노 공리계(r12 RAW)

페아노 공리계_{(r12 RAW)}