페아노 공리계_{(r20 RAW)}

[[분류:집합론]]
[목차]
== 개요 ==
학부 [[집합론]] 시간에 배우는 형식적인(formal) [[자연수]]의 정의 및 공리계(axiomatic system).

현대대수 시간에도 배울 수 있긴 한데 딥하게 가르치는 쪽은 아무래도 집합론이다. 그야 대수에서는 자연수에서 다른 구조로 가는 준동형 사상을 찾기 위한 징검다리로 쓸 뿐, 자연수 자체는 군도 아니고 수학적으로 별 유의미한 구조가 아니기 때문. 정확히는 페아노 공리계 위의 자연수는 monoid를 형성한다.

== 정의 ==
총 다섯 가지 공리들(axioms)로 구성된다. 편의상 '[math(x)]가 자연수이다'라는 predicate를 [math(\N(x))]라 표현했다.

 1. [math(\exists e(\N(e)))] (자연수 [math(e)]가 존재한다.)
 1. [math(\exists S \forall n(\N(n) \to \N(S(n))))] (모든 자연수 [math(n)]에 대해, 따름수(successor) [math(S(n))] 역시 자연수이게 하는 [math(S)]가 존재한다.)
 1. [math(\forall n(\N(n) \to \neg (S(n) = e)))] ([math(e)]는 그 어떤 자연수의 따름수도 아니다.)
 1. [math(\forall n \forall m (\N(n) \land \N(M) \to (S(n) = S(m) \iff n = m)))] ([math(S)]가 injective하다.)
 1. [math(\forall \phi((\phi(e) \land \forall n(\N(n) \to (\phi(n) \to \phi(S(n))))) \iff \forall n (\N(n) \to \phi(n))))]

axiom of induction이라고도 불리는 5번 공리가 좀 족같은데, 보면 알겠지만 [math(\phi(x))]는 predicate고 [math(\forall \phi)]로 이에 대한 보편 양화를 규정하고 있으므로 이차논리이다. 다시 말해 FOL로 쓸 수 없다는 소리인데 물론 머리 잘 굴러가는 수학자들이 FOL 공리꼴로 표현할 수 있게 이미 수십년도 전에 조리 완료해 두었다.

다만 페아노가 1889년 처음 페아노 공리계를 발표했던 당시 사용된 방식이라 짚고 넘어가는 게 중요하다. 특히 [[수학적 귀납법]]이 성립하게 만드는 이유를 2차 논리로 써 두었을 뿐인 만큼 인간 기준에선 나름 직관적(?)인 정의이기도 하다. [math(\phi(x))]를 임의의 자연수 양화 명제로 바꿔서 생각해 보자.~~이해가 쏙쏙되잖아 리슝좍아~~

참고로 집합을 사용하는 구성적 정의에서는 그냥 [[부분집합]]으로 약화시켜서 생각해도 되는데, 이 경우 [math(\N(n) \to \phi(n))]이 필요없고 그냥 상등에 의해 [math(\N = \phi)]라고 쓸 수도 있다. 물론 부분집합이라는 가정이 없는 경우 [math(\N \subset \phi)]가 될 것이다.

== ZFC의 공리적 존재 함의에 기반한 구성적 정의 ==
사실 수학과 저학년 학생들은 이게 더 익숙하다. 쉽게 말해서 위의 공리계는 '이런 게 있다(exists)', '이렇다면, 저렇다', '모든 무언가에 대해 성립하는 모든 조건에 대해'와 같은 고차논리(higher-order logic)적 표현이랑 proof theory, model theory식 소리가 가득한데 집합으로 환원해서 생각하면~~부분집합인 동시에 원소라는 걸 뇌로 상상하는 게 어렵지~~ 직관적으로(?) 머리로 떠올려 생각할 수도 있다(!). 아무래도 논리적 dedction보다 집합스러운 연산(operation)이 더 직관적으로 와닿기 때문. 뭣보다 집합이라는 도구를 이미 다 갖추고 있기 때문에 위의 공리적 방법이랑 비교해 너무 날먹이다. 수학과 신입생들은 ZFC가 외워야 할 게 많다고 어려워하지만 실은 ZFC는 일종의 마트 가면 볼 수 있는 공구세트, 주방도구세트 비슷한 느낌이다. 이미 모든 필요한 공리와 존재(existence)의 보장이 다 되어있으니 앉아서 먹기만 하면 된다.

다만 페아노 공리계와 ZFC 공리계가 분리되어 있는 이유는, 당연히 공리의 의존성을 줄이고 순도를 높이기 위해서이다. ZFC에 대부분의 도구가 정의되어 있으니 '~가 존재한다는 걸 공리로 가정(assume)'할 필요 없이 '~가 존재한다는 걸 증명(prove)'하기만 하면 되는 건 편하지만, ZFC는 ZFC고 이와 호환되지 않는 다른 well-defined된 다른 공리계들도 존재한다. 그런 공리계에서조차 '자연수'라는 개념을 공리적으로든, 구성적으로든 하여간 어떠한 방법으로든 '구현'하기 위해서 필요한 게 페아노 공리계, 즉 일종의 '<자연수 만들기 레시피> [재료는 알아서 구하셈 ㅇㅇ]'와 같다.

일례로 람다 대수에서는 0을 False로 가정하고, successor를 [math(\lambda n.\lambda f.\lambda x.f((n f) x))]로 정의한 다음 처치 부호화를 사용해 자연수를 정의하지만, 0과 successor가 존재하기 때문에 람다 함수의 합성이라는 뇌내에 떠올리기조차 힘든 괴랄한 구조(?)임에도 불구하고 람다 대수에서 자연수 집합에 작용하는 모든 명제가 성립한다는 것을 증명할 수 있다.

== 의의 ==
이 공리계 하나 때문에 지금까지도 페아노는 대중들의 인식 속에 '1 + 1이 2라는 걸 증명할려고 4시간동안 연설한' 수학자로 남아 있다(...). 대부분 '수학쟁이들은 엄밀한 증명을 보면 풀발기함'의 예시 정도로 언급되고 끝나지만, 실제로 위 다섯 개의 공리만으로 자연수라는 구조 위의 덧셈 연산을 잘 정의(well-define)하고 증명할 수 있다는 것은 실로 놀라운 발전이다.

이후 수학계에서 ZFC 공리계가 나오게 되는 기반을 마련했다. 엄밀성 없는 야매 수학에서 현대 수학으로 가는 역사를 크게 바꿔놓은 셈.
페아노 공리계(r20 RAW)

페아노 공리계_{(r20 RAW)}
