멱집합_{(r14 RAW)}

[[분류:집합론]][[분류:떡밥위키 학문 프로젝트]]
[목차]
== 개요 ==
주어진 [[집합]]의 모든 [[부분집합]]을 [[원소]]로 가지는 [[집합]]. 즉, 다음과 같이 정의되는 집합이다.

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\mathcal P(A) = \{S \mid S \subset A\})]||

ZFC 공리계에서의 엄밀한 전개를 위해 [math(\in)] 술어로만 기술하면 다음과 같다.

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\mathcal P(A) = \{S \mid \forall s \in S \to s \in A \})]||

== 예시 ==
세 여성, 폰은정, 박근혜, 혜정이가 있다고 가정하자. 이들이 톡방을 만드는 것은 멱집합에 해당한다.

[math(C = \{\text{폰은정},\ \text{박근혜},\ \text{혜정이}\})]

[math(P(C) = \{
\varnothing,\ 
\{\text{폰은정}\},\ 
\{\text{박근혜}\},\ 
\{\text{혜정이}\},\ 
\{\text{폰은정},\ \text{박근혜}\},\ 
\{\text{폰은정},\ \text{혜정이}\},\ 
\{\text{박근혜},\ \text{혜정이}\},\ 
\{\text{폰은정},\ \text{박근혜},\ \text{혜정이}\}
\})]

[math(|P(C)| = 2^{|C|} = 2^3 = 8)]

== 멱집합의 존재성 ==
ZFC에서는 멱집합 공리(axiom of power set)를 통해 멱집합의 존재성을 보장한다. 보통 ZFC에서 철저하게 subset이나 succ을 위주로 명백한 집합을 정의하는 것과 다르게 다소 급격해(?) 보일 수 있는 공리. 다만 멱집합이 없으면 집합론에서 대부분의 정리가 사실상 쓰레기이기 때문에 필수적으로 필요하다. 생각보다 많은 object들이 멱집합으로 만들어지는 편.

== 멱집합의 농도 ==
[[집합]] 문서에 써있듯이 어떤 원소가 집합에 포함되는지는 포함되느냐([math(\in)]) 포함되지 않느냐([math(\notin)]) 두 가지 경우의 수만이 존재한다. 만약 크기 [math(n)]짜리 유한집합 [math(A)]의 모든 원소 [math(x)]에 대해 특정 집합에 포함 여부를 기준으로 조건을 형성하면 이는 [math(A)]의 모든 부분집합을 유일하게 결정하게 되고, 그 경우의 수는 각 원소마다 2가지이므로 총 [math(2^n)]개가 된다.

== 멱집합의 상등 ==
||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\mathcal P(A) = \mathcal P(B) \iff A = B)]||

개요 문단에 나온 정의를 기억하고 있으면 증명은 졸라 쉽다. 

== 순서론에서 ==
멱집합 그 자체로 subset relation에 대해 poset을 이루기 때문에 맨날 집합론이나 lattice theory 초장에 멱집합 얘기가 나온다.

물론 멱집합의 모든 부분집합은 poset이지만 아무래도 멱집합이 하세 다이어그램으로 그렸을 때 가장 예쁘장하게(?) 나오기 때문인 듯. 특히 크기 8짜리 멱집합 다이어그램이 가장 자주 나온다. 집합론 시간에 졸지 않았다면 거의 외울 수 있을 수준.
멱집합(r14 RAW)

멱집합_{(r14 RAW)}
