시장경제_{(r2 문단 편집)}

=== 공리와 정리 ===
본 항목에서는 시장원리를 수학적으로 기술하기 위해 필요한 공리와 정리들을 제시한다.

{{{+2 {{{#00ff00 I. 단조성}}} }}}
>① [math(\displaystyle \mathbb{R}_+^m)]의 원소인 임의의 서로 다른 벡터 [math(\displaystyle x , y)]가 주어졌다고 하자.
>② 효용함수 [math(\displaystyle U : \mathbb{R}_+^m \rightarrow \mathbb{R} )]가 주어졌다고 하자.
>
>이 때, 두 벡터 [math(\displaystyle x , y)] 는 다음과 같이 좌표성분별로 나타낼 수 있다.
>[math(\displaystyle x = \{a_1,\,a_2,\,a_3,\,.....,\,a_m\} \in \mathbb{R}_+^m )]
>[math(\displaystyle y = \{b_1,\,b_2,\,b_3,\,.....,\,b_m\} \in \mathbb{R}_+^m )]
>
>그러면 다음이 성립한다.
>[math(\displaystyle \{∀_{n \leq M} (a_n \geq b_n) \wedge ∃_{n \leq M} (a_n > b_n)\} \rightarrow \{U(x) > U(y)\} )]
{{{#FF00FF 설명}}} : 임의의 서로 다른 두 상품묶음(=벡터)이 있는데 [math(\displaystyle x)]라는 상품묶음에 들어가는 각각의 상품들의 양이 [math(\displaystyle y)]라는 상품묶음에 들어가는 각각의 상품들의 양보다 모두 많거나 같으면서 [math(\displaystyle x)]라는 상품묶음에 들어가는 어떤 [math(\displaystyle n)]번째 상품은 [math(\displaystyle y)]라는 상품묶음에 들어가는 [math(\displaystyle n)]번째 상품보다 더 많으면 [math(\displaystyle x)]라는 상품묶음이 주는 효용의 크기는 [math(\displaystyle y)]라는 상품묶음이 주는 효용의 크기보다 당연히 크다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
예: [math(\displaystyle \mathbb{R}_+^5)]의 원소인 임의의 서로 다른 벡터가 주어졌다고 하자.
[math(\displaystyle A = (3,2,0,1,5))] 
[math(\displaystyle B = (3,2,1,1,6))]
}}}
이 상품묶음에 대해 성분별로 크기를 비교하면 [math(\displaystyle B)]의 모든 성분이 [math(\displaystyle A)]의 모든 성분보다 크거나 같고, 그 중 세 번째 성분과 다섯 번째 성분은 B가 A보다 크다. 그렇기 때문에 상품묶음 [math(\displaystyle B)]가 주는 효용의 크기가 상품묶음 [math(\displaystyle A)]가 주는 효용의 크기보다 더 크다. 이것은 상품이 많으면 많을수록 더 좋다는 개념이다. 물론, 반재화/비재화(bads)로 분류되는 쓰레기나 공해물질은 제외.

{{{+2 {{{#00ff00 II. 국소적 비포만성(local non-satiation)}}} }}}
>① [math(\displaystyle \mathbb{R}_+^m)]의 원소인 임의의 벡터 [math(\displaystyle x )]가 주어졌다고 하자.
>② 효용함수 [math(\displaystyle U : \mathbb{R}_+^m \rightarrow \mathbb{R} )]가 주어졌다고 하자.
>
>[math(\displaystyle \mathbb{R}_+^m)] 위에 주어진 선호관계가 단조성을 만족하면 다음이 성립한다.
>
>[math(\displaystyle ∀_{x \in \mathbb{R}_+^m} \, ∀_{ε > 0} \, ∃_{y \in \mathbb{R}_+^m} \, \{ \left\| y-x \right\| < ε \wedge U(y) > U(x) \} )]
{{{#FF00FF 설명}}} : [math(\displaystyle \mathbb{R}_+^m)] 상의 어떤 상품묶음이 주어지면 그 상품묶음보다 효용이 더 큰 상품묶음이 [math(\displaystyle ε)]-반경 내에 존재한다는 의미다. 이것은 선호관계에 대한 단조성으로부터 유도되는 성질이다.
{{{#FF00FF 증명}}} : 임의로 주어진 [math(\displaystyle x \in \mathbb{R}_+^m)] 라 하자. 그리고 임의로 [math(\displaystyle ε > 0)] 가 주어졌다고 하자. [math(\displaystyle y = x + (\dfrac {ε^2}{m^2}, \dfrac {ε^2}{m^2}, \dfrac {ε^2}{m^2}, ... , \dfrac {ε^2}{m^2}) )], 단, [math(\displaystyle m > 0)] 라 하면, [math(\displaystyle y)]의 각 성분들이 [math(\displaystyle x)] 의 각 성분들보다 모두 크기 때문에 단조성에 의해 [math(\displaystyle U(x) > U(y))]가 성립하며 [math(\displaystyle \left\| y-x \right\| = \dfrac {ε}{\sqrt m} < ε )]이기 때문에 [math(\displaystyle \left\| y-x \right\|  < ε )]도 성립한다. 다시 말하면 이러한 조건을 만족하는 [math(\displaystyle y \in \mathbb{R}_+^m)] 가 존재한다는 의미다. Q.E.D.

{{{+2 {{{#00ff00 III. [[보조정리]]}}} }}}
>① [math(\displaystyle (p^*\,,\,x^*\,,\,y^*))]가 경쟁균형이라고 하자.
>② 임의의 소비계획 [math(\displaystyle x' = (x'_i)_{i \in I} )]이 다음을 만족한다고 하자.
>[math(\displaystyle ∀_{i \in I} \, \{U_i(x'_i) \geq U_i(x^*_i)\} \wedge ∃_{i \in I} \, \{U_i(x'_i) > U_i(x^*_i)\} )]
>
>그러면 다음이 성립한다.
>[math(\displaystyle \sum\limits_{i \in I} \, p^* \cdot x'_i \: > \: \sum\limits_{i \in I} \,  p^* \cdot x^*_i )]
{{{#FF00FF 증명과정}}} : 우선 [math(\displaystyle ∀_{i \in I} \, [\{U_i(x'_i) \geq U_i(x^*_i)\} \rightarrow \{p^* \cdot x'_i \geq p^* \cdot x^*_i \}] )] 을 증명하고 [math(\displaystyle ∀_{i \in I} \, [\{U_i(x'_i) > U_i(x^*_i)\} \rightarrow \{p^* \cdot x'_i > p^* \cdot x^*_i \}] )]을 증명한다. 
{{{#FF00FF 증명}}} : 아래는 수리논리학적 증명이며 존재양화사는 띄어쓰기로 생략한다. 
 * [math(\displaystyle ∃_{i \in I} \, [\{U_i(x'_i) \geq U_i(x^*_i)\} \wedge \{p^* \cdot x'_i < p^* \cdot x^*_i \}] )]
 *   [math(\displaystyle \{U_i(x'_i) \geq U_i(x^*_i)\} \wedge \{p^* \cdot x'_i < p^* \cdot x^*_i \} )] : 존재양화사 제거
 *   [math(\displaystyle U_i(x'_i) \geq U_i(x^*_i) )]
 *   [math(\displaystyle ∃_{x'' \in \mathbb{R}_+^m} \, \{ \left\| x''-x'_i \right\| < ε \wedge U(x'') > U(x'_i) \} )] : {{{#00ff00 II. 국소적 비포화성 }}}
 *     [math(\displaystyle ε = \dfrac {p^* \cdot x^*_i - p^* \cdot x'_i}{\left\| p^* \right\|} > 0 )] : 존재양화사 제거
 *     [math(\displaystyle \left\| x''-x'_i \right\| < \dfrac {p^* \cdot x^*_i - p^* \cdot x'_i}{\left\| p^* \right\|} )]
 *     [math(\displaystyle p^* \cdot (x''-x'_i) \leq \left\| p^* \right\| \left\| x''-x'_i \right\| < p^* \cdot x^*_i - p^* \cdot x'_i  )]
 *     [math(\displaystyle p^* \cdot x''- p^* \cdot x'_i) < p^* \cdot x^*_i - p^* \cdot x'_i )]
 *     [math(\displaystyle p^* \cdot x'' < p^* \cdot x^*_i )]
 *     [math(\displaystyle p^* \cdot x'' < p^* \cdot x^*_i \wedge U(x'') > U(x'_i) \geq U_i(x^*_i) )]
 *     [math(\displaystyle x^*_i )] 가 효용극대화라는 것에 모순.

그러므로, [math(\displaystyle ∀_{i \in I} \, [\{U_i(x'_i) \geq U_i(x^*_i)\} \rightarrow \{p^* \cdot x'_i \geq p^* \cdot x^*_i \}] )]. 또한 [math(\displaystyle ∀_{i \in I} \, [\{U_i(x'_i) > U_i(x^*_i)\} \rightarrow \{p^* \cdot x'_i > p^* \cdot x^*_i \}] )] 도 마찬가지 방법으로 증명할 수 있다. 따라서 [math(\displaystyle ∀_{i \in I} \, \{U_i(x'_i) \geq U_i(x^*_i)\} )] 이면  [math(\displaystyle \sum\limits_{i \in I} \, p^* \cdot x'_i \: \geq \: \sum\limits_{i \in I} \,  p^* \cdot x^*_i )] 이 된다. 그리고 [math(\displaystyle ∃_{i \in I} \, \{U_i(x'_i) > U_i(x^*_i)\} )] 이라면 그러한 특정한 [math(\displaystyle i)] 에 대해서는 [math(\displaystyle \sum\limits_{i \in I} \, p^* \cdot x'_i \: > \: \sum\limits_{i \in I} \,  p^* \cdot x^*_i )] 이다. 그러므로 모든 [math(\displaystyle i \in I)] 를 고려한다면 [math(\displaystyle \sum\limits_{i \in I} \, p^* \cdot x'_i \: > \: \sum\limits_{i \in I} \,  p^* \cdot x^*_i )] 이 성립한다.

요약

문서 편집을 저장하면 당신은 기여한 내용을 CC BY-NC-SA 2.0 KR 또는 기타 라이선스 (문서에 명시된 경우) 로 배포하고 기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다. 이 동의는 철회할 수 없습니다.

비로그인 상태로 편집합니다. 로그인하지 않은 상태로 문서 편집을 저장하면, 편집 역사에 본인이 사용하는 IP(216.73.216.107) 주소 전체가 영구히 기록됩니다.

시장경제(r2 문단 편집)

시장경제_{(r2 문단 편집)}