푸리에 해석_{(r12 편집)}

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== 개요 ==
[youtube(Mc9PHZ3H36M)]
임의의 함수를 삼각함수 혹은 지수함수의 일차결합으로 나타내는 해석 체계. 프랑스의 수학자 푸리에가 자신의 이름을 붙여서 내놓았다. [[오일러 공식|지수함수와 삼각함수는 본질적으로 같기 때문에]] 사실상 신호나 함수를 지수함수의 합 혹은 적분으로 표현하는 방법론을 의미한다. 자세한 설명은 위의 영상이 잘해주니 참고할 것. 해석학의 한 갈래로 여겨진다.

== 푸리에 급수 ==
>[math(f(x)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{jn \omega x})]
>------
>[math( \displaystyle \begin{aligned} c_{n}=\frac{1}{T}\int_{x_{0}}^{x_{0}+T}f(x)e^{-jn \omega x} \,{\rm d}x \end{aligned} )]
주기 함수에서의 푸리에 해석. 주기 함수는 엥간해선 기본 각속도 [math(w)]의 정수배 주파수를 갖는 정현파들의 합으로 분해가 가능하기 때문에 급수의 형태로 일차결합을 표현할 수 있다. [math(j)]는 순허수 [math(i)]와 같은 수를 가리킨다. 전자공학에서 자주 사용하는 전류기호 [math(i)]와 혼동하지 않기 위해서 [math(j)]로 표현한다.
== 푸리에 변환 ==
>푸리에 변환:  [math(\displaystyle \begin{aligned}\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} \, dt \end{aligned})]
>------
>푸리에 역변환:  [math(\displaystyle \begin{aligned}f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j \omega t} \, d\omega \end{aligned})]
비주기 함수에서의 푸리에 해석. 비주기 신호는 기본 각속도가 존재하지 않아 푸리에 급수처럼 각속도의 정수배로 성분으로 분해할 수 없다. 때문에 차라리 연속적인 스펙트럼으로 표현하는 방법이 이용되는데 이것이 바로 푸리에 변환이다.

== 의의 ==
굳이 왜 이런 귀찮은 짓을 하면서 함수를 개조하는가 싶지만 쓰이는 곳이 많다. 특히나 신호를 시간 단위가 아니라 주파수 단위로 분해하는 방법론은 신호 분석의 기초 중 기초라고 할 수 있다. 더불어 주파수 단위에서 원하는 성분을 증폭시키고 억제하는 동작을 쉽게 구현할 수 있는데 설계하고 이를 푸리에 역변환을 통해 시간 단위에서 구현하면 소위 필터로써 기능하게 된다.

요약

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