제어_{(r1 문단 편집)}

=== 상태 공간 모델 ===
시스템 다이나믹스 모델, 줄여서 시스템 모델은 흔히 운동 방정식(혹은 다양한 물리 법칙에 의해 유도 및 추론되는 여러 방정식들)에서 기인하는 상미분 방정식 형태로 표현이 되는데, 제어 이론에서는 이를 흔히 상태 공간 모델(state space model)로서 표현한다. 여기서 상태(state)란 시스템의 현 상태를 나타내는 내부 변수를 의미하고, 예를 들어 1차원에서의 질량 m의 물체가 이동하고 있다면 물체의 위치와 속도 등이 상태 변수로 설정될 수 있다. 참고로 상태 변수의 선정은 유일하지 않고 엔지니어의 선택에 따라 달라질 수 있다.

[\math(\dot{x} = Ax+Bu)]
[\math(y = Cx + Du)]

상태 공간 모델은 위와 같이 상태 방정식(state equation)과 출력 방정식(output equation)으로 표현이 되고, 이와 같은 형태로 시스템의 다이나믹스를 묘사하는 것을 상태 공간 표현법(state space representation)이라고 한다. 시스템 다이나믹스를 상태 공간 모델로서 묘사하기 위해서는 기본적으로 선형(linear), 유한 차수(finite-dimensional)를 가정하며 라플라스 변환(Laplace transform)을 통해 주파수 영역 혹은 라플라스 영역(Laplace domain)에서 표현하여 계산을 편리하게 할 수 있다.

시간에 대한 함수 [\math(f(t))]에 대해 라플라스 변환을 적용하는 경우 일반적으로 상태 변수들의 초기 조건을 0으로 가정하고, [\math(F(s))]와 같이 대문자로 치환하여 주로 표현한다. 이때 [\math(s)]는 라플라스 영역에서의 변수로, 라플라스 영역을 [\math(s)]-domain이라고 표현하기도 한다.

[\math(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s))]

선형 시불변 시스템에 대한 상태 공간 모델에 라플라스 변환을 적용하는 경우 아래와 같이 전개될 수 있다.

[\math(\mathcal{L}\{\dot{x} = Ax+Bu\} \rightarrow sX(s)=AX(s)+BU(s))]
[\math((sI-A)X(s) = BU(s))]
[\math(X(s) = (sI-A)^{-1}BU(s))]

[\math(\mathcal{L}\{y = Cx + Du\} \rightarrow Y(s)=CX(s)+DU(s))]
[\math(Y(s)=(C(sI-A)^{-1}B+D)U(s))]
[\math(G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B + D)]

여기서 [\math(G(s))]는 시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 나타내느 전달 함수(transfer function)라고 하며, 일반적인 물리 시스템은 관성(질량, 관성 모멘트 등)의 영향을 받기 때문에 [\math(D)]가 0이다.

또한 [\math(det(sI-A)=0)]을 시스템의 특성방정식(characteristic equation)이라고 하며, 시스템의 특성방정식은 선형 시스템의 안정성과 밀접한 관련이 있으며, 특성방정식의 모든 해가 음수인 경우 시스템이 Hurwitz stable하다고 한다. Routh-Hurwitz 안정성 판별법에서의 Hurwitz와 동일 인물이다.

요약

문서 편집을 저장하면 당신은 기여한 내용을 CC BY-NC-SA 2.0 KR 또는 기타 라이선스 (문서에 명시된 경우) 로 배포하고 기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다. 이 동의는 철회할 수 없습니다.

비로그인 상태로 편집합니다. 로그인하지 않은 상태로 문서 편집을 저장하면, 편집 역사에 본인이 사용하는 IP(216.73.216.107) 주소 전체가 영구히 기록됩니다.

제어(r1 문단 편집)

제어_{(r1 문단 편집)}