시장경제_{(r2 문단 편집)}

=== 정의 및 개념 ===
본 항목에서는 가격, 사유재산, 소비자의 소비, 생산자의 생산, 생산수단에 대한 사적소유와 이윤지급에 대해 수학적으로 정의한다.

{{{+2 {{{#ffa500 I. 가격}}} }}}

① 지구상에 [math(\displaystyle m)]가지 서로 다른 종류의 상품이 존재한다. 각 상품들에 대한 1개당 가격 벡터를 다음과 같이 정의한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle p \in \mathbb{R}_{++}^m )][* [math(\mathbb{R}_{++}^m)]은 모든 성분이 양수인 [math(m)]차원 벡터를 원소로 갖는 유클리드 공간을 의미한다. [math(\mathbb{R}_{+}^m)]은 추가로 영벡터처럼 각 성분이 0이거나 양수인 벡터를 원소로 갖는다.]
}}}
{{{#FF00FF 예}}}: 바나나, 사과, 오렌지 3가지 종류의 상품이 존재하고, 바나나 1개당 300원, 사과 1개당 500원, 오렌지 1개당 200원이라면

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle (300,500,200) \in \mathbb{R}_{++}^3 )]
}}}

{{{+2 {{{#ffa500 II. 소비자}}} }}}

① 지구상에 [math(\displaystyle n)]명의 소비자들이 존재한다. 이것을 [math(\displaystyle I = \{1,\,2,\,3,\,.....,\,n\})]라고 표기한다.

② 각각의 [math(\displaystyle i \in I)] 에 대하여 이들이 가지고 있는 초기 부존자원(endowment, 사유재산)을 다음과 같이 벡터로 표기한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle e_i \in \mathbb{R}_+^m )]
}}}
③ 각각의 [math(\displaystyle i \in I)] 에 대하여 이들이 소비하는 상품들을 다음과 같이 벡터로 표기한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle x_i \in \mathbb{R}_+^m )]
}}}
④ 각각의 [math(\displaystyle i \in I)] 에 대하여 자신들이 소비하는 상품벡터들에 대한 [[효용함수]]를 다음과 같이 표기한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle U_i : \mathbb{R}_+^m \rightarrow \mathbb{R} )]
}}}
⑤ 각각의 [math(\displaystyle i \in I)] 에 대한 소비벡터들을 모은 [[순서쌍]]을 '''소비계획'''([[消]][[費]][[計]][[劃]], consumption plan)이라고 한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle x = (x_i)_{i \in I} \in \mathbb{R}_+^{m×n} )]
즉, [math(\displaystyle x = (x_1,x_2,x_3, ..... ,x_n))]
}}}

{{{+2 {{{#ffa500 III. 생산자}}} }}}

① 지구상에 [math(\displaystyle r)]개의 기업(생산자)들이 존재한다. 이것을 [math(\displaystyle J = \{1,\,2,\,3,\,.....,\,r\})] 라고 표기한다.

② 각각의 [math(\displaystyle j \in J)] 에 대하여 기업들의 생산가능집합을 다음과 같이 표기한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle Y_j \subset \mathbb{R}^r )]
단, [math(\displaystyle ∀_{j \in J} \: Y_j )]는 {{{#ff0000 폐집합}}}, {{{#ff0000 유계}}},[* 유계 폐집합인 유클리드 공간이므로 하이네-보렐 정리에 의해 옹골(컴팩트)집합이다.] {{{#ff0000 볼록집합}}}
}}}
③ 각각의 [math(\displaystyle j \in J)] 에 대하여 기업들이 선택한 생산을 다음과 같이 벡터로 표기한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle y_j \in Y_j )]
단, 벡터의 양수 성분은 산출(output)을, 벡터의 음수 성분은 투입(input)을 의미
}}}
{{{#FF00FF 예}}} : [math(\displaystyle M=5)]일때, 생산벡터 [math(\displaystyle (5,-2,1,0,-1) \in Y_j )]는 기업 [math(\displaystyle j)]가 두 번째 상품을 2단위 투입하고 다섯 번째 상품을 1단위 투입하여 첫 번째 상품 5단위와 세번째 상품 1단위를 산출한다는 의미이다.

④ 소비자 [math(\displaystyle i \in I)]가 기업 [math(\displaystyle j \in J)]를 소유한 지분을

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle θ_{ij})], 단, [math(\displaystyle ∀_{j \in J} \sum\limits_{i \in I} θ_{ij} = 1 )]
}}}
라고 표기한다. 그리고 주어진 가격벡터 [math(\displaystyle p \in \mathbb{R}_+^m )] 하에서 기업 [math(\displaystyle j)]가 [math(\displaystyle y_j)]를 생산할 때의 이윤을

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle π_j = p \cdot y_j )], 단, [math(\displaystyle \cdot)]는 내적의 일종인 '스칼라곱'
}}}
라고 표기하며 기업 [math(\displaystyle j)]는 소비자 [math(\displaystyle i)]가 소유한 지분만큼 이윤을 분배한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle θ_{ij}π_j)] : 기업 [math(\displaystyle j)] 가 소비자 [math(\displaystyle i)]에게 지급하는 이윤
}}}
⑤ 각각의 [math(\displaystyle j \in J)] 에 대한 생산벡터들을 모은 [[순서쌍]]을 '''생산계획'''([[生]][[産]][[計]][[劃]], production plan)이라고 한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle y = (y_j)_{j \in J} \in \prod_{j = 1}^r Y_j )]
즉, [math(\displaystyle y = (y_1,y_2,y_3, ..... ,y_r) )]
}}}

{{{+1 {{{#ffa500 IV. 파레토 최적}}} }}}

① 임의의 소비계획 [math(\displaystyle x = (x_i)_{i \in I})] 과 임의의 생산계획 [math(\displaystyle y = (y_j)_{i \in J} )] 이 주어졌을 때, 할당을 다음과 같이 표기한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle (x \:, \: y) \: = \: (x_1,x_2,x_3,.....,x_n\:,\:y_1,y_2,y_3,.....,y_r))]
}}}
② 할당 [math(\displaystyle (x \:, \: y) )] 가 다음의 조건을 만족시키면 '''실현가능'''([[實]][[現]][[可]][[能]], feasible)하다고 말한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \sum\limits_{i \in I} \, x_i \: \leq \: \sum\limits_{i \in I} \, e_i \: + \: \sum\limits_{j \in J} \, y_j )]
}}}
③ 실현가능한 할당 [math(\displaystyle (x \:, \: y) )]이 파레토 최적(Pareto optimal)이라는 뜻은 다음과 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \sim [\,∃(\tilde x,\tilde y) [\,∀_{i \in I} \{U_i(\tilde x_i) \geq U_i(x_i)\} \wedge ∃_{i \in I} \{U_i(\tilde x_i) > U_i(x_i)\}\,]\,] )]
}}}
{{{#FF00FF 설명}}} : 하나의 할당 [math(\displaystyle (x \:, \: y) )] 가 파레토 최적이라는 의미는 사회전체의 공급가능한 자원을 초과하지 않는 범위내에서 모든 소비자들이 각자가 추구할 수 있는 효용의 극대화를 만족시키는 자원배분의 상태를 의미한다. 다시 말하면, 소비자들 개개인에게 주어진 사유재산을 가지고 서로가 상품들을 교환하면서 각자가 효용을 극대화시킨 상태라고 볼 수 있다. 그렇기 때문에 또 다른 실현가능한 할당 [math(\displaystyle (\tilde x \:, \: \tilde y) )] 이 존재해서 [math(\displaystyle \tilde x = (\tilde x_i)_{i \in I})] 의 모든 좌표성분(=소비벡터)들이 원래의 파레토 최적인 [math(\displaystyle x = (x_i)_{i \in I})]의 모든 성분들보다 효용이 크거나 같은 동시에 특정 성분들이 효용이 클 수가 없다. 왜냐하면 그게 참이라면 우리가 원래 가정했던 할당 [math(\displaystyle (x \:, \: y) )] 이 파레토 최적이라는 것에 모순되기 때문이다.

{{{+2 {{{#ffa500 V. 경쟁균형}}}}}}

어떠한 가격벡터 [math(\displaystyle p^* )], 어떠한 실현가능한 할당 [math(\displaystyle (x^* \:, \: y^*) )]이 존재하여 다음을 만족한다고 하자.

① 이윤 극대화: 주어진 가격 [math(\displaystyle p^* )]에서 각각의 기업들은 이윤을 극대화한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle ∀_{j \in J}\:[\,y^*_j \in \mathrm{arg \: max}\{\,p^* \cdot y_j \: | \: y_j \in Y_j \, \} \,] )]
}}}
② 효용 극대화: 주어진 가격 [math(\displaystyle p^* )]에서 각각의 소비자들은 [[예산제약]] 내에서 효용을 극대화한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle ∀_{i \in I}\:[\,x^*_i \in \mathrm{arg \: max}\{\,U_i(x_i) \: | \: p^* \cdot x_i \, \leq \, p^* \cdot e_i + \sum\limits_{j \in J} θ_{ij}(p^* \cdot y^*_j ) \, \}\,] )]
}}}
③ 시장 청산(market clearing)

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \sum\limits_{i \in I} \, x^*_i \: = \: \sum\limits_{i \in I} \, e_i \: + \: \sum\limits_{j \in J} \, y^*_j )]
}}}
위 세 가지가 만족된다면 [math(\displaystyle (p^*\,,\,x^*\,,\,y^*))]를 시장에서의 경쟁균형(competitive equilibrium)이라고 말한다.

요약

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