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상트페테르부르크의 역설
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== 현대수학에서의 해석 == 현대에 정립된 공리적 [[확률론]]과는 전혀 모순이 없다. 기댓값의 정의인 확률×변수값의 총합 혹은 그 적분(일반적 [[측도]]론적 관점에서)만을 보면, 발산하는 무한급수처럼 기대값이 정의되지 않는 확률변수도 충분히 존재할 수 있다.[* 심지어 코시 분포는 이 경우와는 다르게 기댓값을 정할 수 있는 것처럼 보이지만 기댓값은 물론 분산과 같은 적률 자체가 정의되지 않는다.] 기댓값에 의미를 주는 핵심 법칙인 [[큰 수의 법칙]]과도 전혀 모순되는 내용은 없다. 큰 수의 법칙은 기댓값이 존재하는 확률시행을 [math(n)]번 했을 때의 평균값이 [math(n \rightarrow \infty)]일 때 기댓값에 수렴한다는 것인데, 평균값이 없는 저 변수에 대해선 성립하지 않는다. 실제로 저 게임을 n번 했을 때 받을 수 있는 금액은 대략 [math(n \log_2 n )] 정도의 경향을 띄므로[* 정확히 말하면 [math(X_i)]들을 위 상트페테르부르크 게임의 독립시행들이라 했을 때, 확률변수 [math((X_1+\cdots+X_n)/(n \log_2 n))]이 [math(1)]에 확률수렴한다는 것을 증명할 수 있다.] 반복했을 때의 평균값이 대략 [math(\log_2 n)]가 되어 끝없이 커져 나가는 것도 사실이다. 하지만 로그함수의 느린 성장세를 본다면 현실적으로 대략 저 게임을 백만 번 정도 했을 때 평균 20 만큼을 버는 정도로, 무한대 기댓값이라고 순진하게 생각했을 때의 우려할 만한 수준과는 거리가 있어 보인다. 즉 많은 역설이 그렇듯, 이 역설도 순수한 논리 자체의 역설이라기보다는 기댓값이라는 개념과 현실 직관과의 차이를 느끼게 해 주는 현상으로 보는 것이 정확하다.
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