상트페테르부르크의 역설_{(r4 문단 편집)}

== 문제 제기 ==
[[기댓값]] 문서에도 나와있지만, 확률에 배정된 값을 얻을 수 있는 기댓값은 (확률)×(배정된 값)의 총합이다. 예를 들어 주사위를 던졌을 때 각각의 눈이 나올 확률은 1/6이고, 해당되는 눈은 {1,2,3,4,5,6}이므로 기댓값은 (1+2+3+4+5+6)×(1/6) = 3.5가 된다.

그런데 경우의 수가 무한이고, 낮아지는 확률에 맞춰서 배정된 값을 증가시키면 어떻게 될까? 1713년 니콜라스 베르누이가 이 문제에 대해 언급했고, 1738년 [[베르누이 정리]]로 유명한 [[다니엘 베르누이]]가 이를 정리하여 상트페테르부르크의 역설을 발표한다.
>동전 한 개를 뒷면이 나올 때까지 던진다. 첫 번째에 뒷면이 나오면 베팅한 금액의 2배, 두 번째로 뒷면이 나오면 2의 2제곱인 4배, 세 번째로 뒷면이 나오면 2의 3제곱인 8배를 받는다. 마찬가지로 n번째에 뒷면이 나오면 2의 n제곱배를 받는다. 이 게임을 여는 도박장은 돈이 무한히 많아 받는 돈이 얼마가 되었든지간에 정상적으로 지불이 가능하다고 가정할 때, 이런 도박장에서 처음에 얼마를 내는 것이 공정할까?
이산확률변수의 기댓값의 공식인 각각의 경우에서의 확률×변수값의 총합을 생각해 보면, 이 게임의 기댓값은
 [math( \displaystyle E = 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} + \cdots + 2^n \cdot \frac{1}{2^n}+\cdots = \infty )]
즉, 기댓값은 '''무한'''히 발산한다.[* 현대수학 시점에서 엄밀히 보면 기댓값을 '정의할 수 없다'는 표현이 더욱 정확하다. 물론 이 때에는 확률변수의 정확한 개념은 물론이고 리만적분조차 정립되어 있지 않았다.] 다시 말해, 이 게임의 참가비가 100만이 되었든 10억이 되었든 당신이 위험중립자라면 이 게임(?)을 거절할 이유가 없다는 것이다. 하지만 실제로 이 게임 한 판이 무한대의 가치를 가진다고는 믿기 힘든 것이 사실이다.

이 역설을 해결하기 위해 많은 당대의 수학자들이 여러 가지 이론과 추측을 제시하였고, 이는 수학적인 [[확률]] 개념의 정립 뿐만이 아니라 [[경제학]] 등에서 사람이 인식하는 확률의 인식 등에 많은 영향을 미치게 되었다.

요약

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