사칙연산_{(r1 문단 편집)}

=== [[분배법칙]] ===
곱셈과 나눗셈이 덧셈과 뺄셈보다 우선순위가 높은 데에는 분배법칙의 성립 때문이기도 하다. 애초에 곱셈이 덧셈의 반복으로 정의되어 덧셈의 상위 연산으로 취급받는 것도 있지만, 이 분배법칙을 편리하게 표현하기에는 곱셈끼리의 연결이 덧셈보다 차원이 높게 만드는 것이 자연스럽기 때문이다.

보통 [math(a \times (b+c)=a \times b+a \times c)][* 좌분배법칙] 혹은 [math((b+c) \times a=b \times a+c \times a)][* 우분배법칙]와 같은 분배법칙을 다룰 때에, 덧셈에만 괄호를 붙이는 것이 훨씬 이해하는 측면에서 좋으며, 곱셈과 나눗셈이 덧셈과 뺄셈보다 우선인 이유를 이해하기 쉬워진다.

쉽게 말해, 만약 덧셈과 곱셈의 우선순위 차이 없이 왼쪽부터만 계산하기로 되어있다면, 분배법칙 역시 이상한 방식으로 괄호가 쓰여질 것이다. [math(a \times (b+c)=a \times b+(a \times c))]과 [math(b+c \times a=b \times a+(c \times a))]과 같이 괄호에 있어서 일관성이 떨어지며, 우리가 생각하는 "항"의 개념이 덧셈을 기준으로 기술할 수 없게 되고, 곱셈을 우선하여 생략하거나 나눗셈을 분수로 표현하는 것에 직관성이 떨어지게 된다.

[math(\displaystyle {1+2 \over 3} = {1 \over 3} + {2 \over 3})]와 같은 나눗셈의 우분배법칙[* 초등학교 과정에서 '[[분수(수학)|분수]]의 덧셈과 뺄셈은 [[통분]] 이후에 자연스럽게 공통분모로 묶으면 분자끼리의 계산이 가능하다' 정도로 배우나, 엄밀하게는 나눗셈의 우분배법칙을 이용한 연산이다.]에서도, 분수 계산을 나눗셈 계산으로 바꾸더라도 전혀 어색하지 않게 된다. 좌분배법칙은 나눗셈에 대해서는 성립하지 않으므로 여기서는 논외로 친다.

참고로, 곱셈과 덧셈 연산을 반대로 적용하여 분배법칙을 적용시키는 경우 성립하지 않기에, 곱하기를 통해 이루어진 것은 하나의 항으로 합성되며, 덧셈으로 항들을 연결하면 [[다항식]]이 되는 방식으로 식을 편하게 다룰 수 있어진다. 즉, 곱셈과 나눗셈을 더 먼저 연산하는 것은 미지수의 연산과의 일관성을 갖추기도 좋으며, 중학교 교육과정의 미지수의 첫 도입부터 시작하여 [[이차방정식]], [[이차함수]], 고등학교 이후 과정인 [[이항정리]], [[테일러 급수]], [[선형대수학]]에 이어지는 형식으로 굉장히 다양한 곳에서 편리하다고 느끼기에 그렇게 하는 것이고, 단순히 사칙연산을 처음 배운 사람에게는 해당 순서가 좀 낯설게 느껴질 수는 있다.

[[분배법칙]]이 성립하면 선형성이 있다고 표현하며, 이러한 연산들을 묶어 [[선형 변환]]이라고 한다. 선형 변환에서는 덧셈과 곱셈의 연산 순서가 매우 중요하며, 위에서 말한 항의 개념이 그대로 적용되고 [[벡터]]나 [[행렬(수학)|행렬]] 등 변수가 많더라도 수학적으로 다루기 굉장히 편리하다.

참고로, [[논리 연산]]에 해당하는 논리곱/교집합 연산과 논리합/합집합 연산의 경우에는 서로가 서로에 대한 분배법칙이 성립하는데, 이러한 경우에는 서로의 연산 우선순위가 등가이기 때문에 왼쪽에서부터 계산하며, 항상 먼저 계산해야 할 경우 괄호를 붙인다.

요약

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