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=== 정의 ===
[math(\mathbb C)]를 다음 두 연산이 정의된 체라고 하자.

1. [math(\forall z_1,z_2 \in \mathbb C ( \Re(z_1 + z_2) = \Re(z_1) + \Re(z_2) \land \Im(z_1 + z_2) = \Im(z_1) + \Im(z_2) ))]
 1. [math(\forall z_1,z_2 \in \mathbb C ( \Re(z_1 z_2) = \Re(z_1) \Re(z_2) - \Im(z_1) \Im(z_2) \land \Im(z_1 z_2) = \Im(z_1) \Re(z_2) + \Re(z_1) \Im(z_2) ))]

이때 [math(\forall z \in \mathbb C)]에 대해 [math(\Re(z))]와 [math(\Im(z))]는 각각 [math(\mathbb C \to \R)]의 함수이다. 엄밀히 말하면 [math(\Re_{\mathbb C})], [math(\Im_{\mathbb C})]이 되어야 하겠지만 이따 곧바로 유일성 증명 할거라서 그냥 넘어가주자.

사실 유일성 증명을 위해서는 동치 관계도 정의해야 하는데, 일단 [math(\forall z_1,z_2 \in \mathbb C ( z_1 = z_2 \harr \Re(z_1) = \Re(z_2) \land \Im(z_1) = \Im(z_2) ))] 라고 하자.

그리고 마지막으로, 이런 체를 실제로 존재하게 만들기 위해 원소를 꽉 채워주자. 앞서 동치 관계를 정의했기 때문에 [math(\exists!)]라고 써도 된다. 증명은 알아서.

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\forall x,y \in \R \exists z \in \mathbb C ( \Re(z) = x \land \Im(z) = y )))]||

위 정의를 보고 가슴이 두근거리거나 준동형 사상이 떠올랐거나 갑자기 머리가 번쩍거리면서 이해가 끝났다면 축하한다. 당신은 수학과 랩실에 처박혀 인생을 갈아먹힐 운명이다. 지금당장 복소해석 수강신청하고 노예가 되도록 하자.

그럼 좀더 살펴보자. 일단

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\forall z \in \mathbb C \exists x,y \in \mathbb C ( \Re(z) = \Re(x) \land \Im(z) = \Im(y) \land \Im(x) = \Re(y) = 0 \land z = x + y ))]||

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\forall z \in \mathbb C \exists x,y \in \mathbb C ( \Re(y) = \Im(z) \land \Re(x) = \Im(y) = \Re(z) = 0 \land \Im(x) = 1 \land z = xy ))]||

는 위 정의에서 쉽게 드러난다. 위 두 사실을 합치면 임의의 [math(\forall z \in \mathbb C)]를 아래와 같이 나타낼 수 있을 것이다.

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\forall z \in \mathbb C \exists x,y,v \in \mathbb C ( \Re(z) = \Re(x) \land \Im(z) = \Re(y) \land \Re(v) = \Im(x) = \Im(y) = 0 \land \Im(v) = 1 \land z = x + vy ))]||

복잡하다. [math(\Im(z) = 0)]인 것들은 그냥 실수다 라고 생각하고 조금 간단하게 써보자.

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\forall z \in \mathbb C \exists x,y \in \R \exists v \in \mathbb C ( \Re(z) = x \land \Im(z) = y \land \Re(v) = 0 \land \Im(v) = 1 \land z = x + vy ))]||

아까부터 나온 [math(v)]는 [math(\Re(v) = 0)], [math(\Im(v) = 1)]인 원소다. 앞선 동치 관계 정의에 의해 유일성은 보장되니까 그냥 상수라고 치고 따로 빼내서 [math(i)]라는 이름을 지어 주자.

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\forall z \in \mathbb C \exists x,y \in \R ( \Re(z) = x \land \Im(z) = y \land z = x + iy ))]||

정리하면 체 [math(\mathbb C)]의 모든 원소는 어떤 두 실수 [math(x, y)]에 대해 항상 [math(x + iy)] 꼴로 나타낼 수 있다. 그럼 이 [math(i)]는 정확히 뭘까?

앞서 체 [math(\mathbb C)]에 곱셈 연산을 정의했다. 한번 [math(i)]에 적용해볼까?

||<tablealign=center><tablebordercolor=transparent><tablebgcolor=transparent>[math(\begin{aligned}
\Re(i^2) &= \Re(i \times i) = \Re(i) \Re(i) - \Im(i) \Im(i) = 0 \times 0 - 1 \times 1 = -1 \\
\Im(i^2) &= \Im(i \times i) = \Im(i) \Re(i) + \Re(i) \Im(i) = 1 \times 0 + 0 \times 1 = 0 \\
\end{aligned})]||

아까 [math(\Im)]가 0으로 나오면 [[실수]]라고 했다. 즉, [math(i^2 = -1)]이다. 그렇다. 우리가 찾던 그 허수(imaginary number)가 맞다.

체 [math(\mathbb C)]의 이름은 복소수(complex number)고, [math(\Re(z))]과 [math(\Im(z))]는 각각 복소수 [math(z)]의 실수부, 허수부라고 부른다.

앞서 정말 간단한 [math(\mathbb C)] 위의 동치 관계를 정의했었다. 모든 [math(\forall x,y \in \R)]에 대해서 고유한 [math(z \in \mathbb C)]를 대응시켰고, [math(\Re)]과 [math(\Im)] 또한 [math(\R)]을 공역으로 갖는 함수니까 [math(z)]에서 고유한 [math(x,y)]를 대응시키는 것은 더 쉽다. [math(R^2)]에서 [math(\mathbb C)]로 가는 일대일대응 함수 [math(f:R^2 \to \mathbb C)]를 생각할 수 있다는 것인데, 그게 바로 아까 봤던 [math(z = f(x, y) = x + iy)]다. 이게 복소수를 [math(a + bi)] 식으로 표기하는 이유다.

요약

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