페아노 공리계_(비교)

		r11 vs r12
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17	17	axiom of induction이라고도 불리는 5번 공리가 좀 족같은데, 보면 알겠지만 [math(\phi(x))]는 predicate고 [math(\forall \phi)]로 이에 대한 보편 양화를 규정하고 있으므로 이차논리이다. 다시 말해 FOL로 쓸 수 없다는 소리인데 물론 머리 잘 굴러가는 수학자들이 FOL 공리꼴로 표현할 수 있게 이미 수십년도 전에 조리 완료해 두었다.
18	18
19	19	다만 페아노가 1889년 처음 페아노 공리계를 발표했던 당시 사용된 방식이라 짚고 넘어가는 게 중요하다. 특히 [[수학적 귀납법]]이 성립하게 만드는 이유를 2차 논리로 써 두었을 뿐인 만큼 인간 기준에선 나름 직관적(?)인 정의이기도 하다. [math(\phi(x))]를 임의의 자연수 양화 명제로 바꿔서 생각해 보자.~~이해가 쏙쏙되잖아 리슝좍아~~
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	21	참고로 집합을 사용하는 구성적 정의에서는 그냥 [[부분집합]]으로 약화시켜서 생각해도 되는데, 이 경우 [math(\N(n) \to \phi(n))]이 필요없고 그냥 상등에 의해 [math(\N = \phi)]라고 쓸 수도 있다. 물론 부분집합이라는 가정이 없는 경우 [math(\N \subset \phi)]가 될 것이다.

페아노 공리계(비교)