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페아노 공리계(비교)

r23 vs r24
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일례로 람다 대수에서는 0을 False로 가정하고, successor를 [math(\lambda n.\lambda f.\lambda x.f((n f) x))]로 정의한 다음 처치 부호화를 사용해 자연수를 정의하지만, 0과 successor가 존재하기 때문에 람다 함수를 받아 람다 함수를 반환하는 람다 함수의 합성의 합성이라는(...)~~뭐시발~~ 뇌내에 떠올리기조차 힘든 괴랄한 구조(?)임에도 불구하고 람다 대수에서 자연수 집합에 작용하는 모든 명제가 성립한다는 것을 증명할 수 있다.
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실제로 페아노 공리계가 집합의 개념을 사용한다고 오해하는 경우가 있는데, '''아니다.''' 페아노 공리계는 위에서 보듯이 순수 TOL만 사용해서 기술할 수 있다. 흔한 오해와 다르게 위 정의상 [math(\N)]은 '''반드시''' [[집합]]이 아니고, [math(S)]는 '''반드시''' [[함수]]가 아니다. 물론 ZFC처럼 [math(\N)]이 집합이 '''될 수도''' 있고 [math(S)]가 함수가 '''될 수도''' 있으나, 반드시 강제하지는 않는다는 것이다. 이해가 어렵다면 위의 람다 대수 및 처치 부호화 예시를 다시 살펴보자.
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실제로 페아노 공리계가 집합의 개념을 사용한다고 오해하는 경우가 있는데, '''아니다.''' 페아노 공리계는 위에서 보듯이 순수 TOL만 사용해서 기술할 수 있다. 흔한 오해와 다르게 위 정의상 [math(\N)]은 '''반드시''' [[집합]]은 아니고, [math(S)]는 '''반드시''' [[함수]]는 아니다. 물론 ZFC처럼 [math(\N)]이 집합이 '''될 수도''' 있고 [math(S)]가 함수가 '''될 수도''' 있으나, 이를 명시하는 공리는 전혀 없다는 것이다. 이해가 어렵다면 위의 람다 대수 및 처치 부호화 예시를 다시 살펴보자.
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== 의의 ==
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이 공리계 하나 때문에 지금까지도 페아노는 대중들의 인식 속에 '1 + 1이 2라는 걸 증명할려고 4시간동안 연설한' 수학자로 남아 있다(...). 대부분 '수학쟁이들은 엄밀한 증명을 보면 풀발기함'의 예시 정도로 언급되고 끝나지만, 실제로 위 다섯 개의 공리만으로 자연수라는 구조 위의 덧셈 연산을 잘 정의(well-define)하고 증명할 수 있다는 것은 실로 놀라운 발전이다.
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